Градиент, дивергенция, ротор

Брянск 2011

Составители: Баранова И.М., зав. кафедрой математики,

Алексеева Г.Д., доцент кафедры математики,
Гущин Г.В., доцент кафедры математики,

Часова Н.А., доцент кафедры математики,

Муравьев А.Н., доцент кафедры математики

Рецензент: Евтюхов К.Н. – к., ф.- м.н., профессор кафедры физики

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № от

ВВЕДЕНИЕ

Многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

В настоящих методических указаниях рассматриваются вопросы:

- основные понятия;

- частные производные;

- дифференциал функции;

- применение дифференциала к приближенным вычислениям;

- производная по направлению, градиент;

- экстремум функции нескольких переменных;

- наибольшее и наименьшее значения функции;

- условный экстремум, метод множителей Лагранжа;

- понятие об эмпирических формулах, метод наименьших квадратов.

Сведения из теории изложены лишь конспективно. Опущены строгие доказательства, однако практические вопросы рассмотрены довольно подробно, что необходимо для выполнения расчетно-графической работы.

1. Функции нескольких переменных, основные понятия

1) Если каждой точке М из некоторого множества точек евклидова пространства ставится в соответствие по известному закону некоторое число , то говорят, что на множестве задана функция или .

Если множество принадлежит или евклидовой прямой, или евклидовой плоскости, говорят о функциях одной, двух, трех, …, n переменных.

Пример 1.1 Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и , выражается формулой .

Пример 1.2. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны выражается формулой .

Пример 1.3. Величина силы притяжения двух материальных точек, имеющих массы и занимающих соответственно положение и , согласно закону Ньютона равна

, где .

Следовательно, есть функция от шести переменных

2) Всякая функция от нескольких переменных становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать, т.е. придать постоянные значения.

Например, пусть мы имеем функцию трех переменных .

Если положить то мы получим функцию от двух переменных , если зафиксировать переменную то получим функцию одной переменной . Таким образом, в разных вопросах по желанию, функцию можно рассматривать как функцию одной, двух или трех переменных.

3) Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных является, вообще говоря, поверхность в пространстве .

Линией уровня функции называется множество всех точек плоскости , для которых данная функция имеет одно и то же значение (изокривая). Ее уравнение где – некоторая постоянная. Поверхностью уровня функции определяется уравнением где .

Пример 1.4. Соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой средней суточной температурой или давлением, получим соответственно изотермы и изобары, являющиеся важными исходными данными для прогноза погоды.

4) Пусть задана функция двух переменных . Если зафиксировать переменную и дать переменной приращение , то разность называется частным приращением функции по переменной . Аналогично, зафиксировав переменную и дав приращение переменной , получим частное приращение функции по : . Придавая приращение сразу двум переменным и , можно получить полное приращение функции .

Пример 1.5. Найти полное приращение функции , где изменяется от 2 до 2,2 и от 1 до 0,9; ; ; , ;

.

5) Частной производной функции от нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю.

Таким образом, по определению, для функций двух переменных ; .

Пример 1.6. Пусть , тогда ; .

6) Функция называется дифференцируемой в данной точке если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде где А, В – некоторые не зависящие от и числа, а и – бесконечно малые при .

Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть полного приращения этой функции .

Если функция дифференцируема в точке , то и . Тогда , или

Пример 1.7. Найти дифференциал функции .

, , .

7) Частными производные второго порядка для функции называются: .

Продолжая таким путем дальше, можно определить частные производные третьего порядка, четвертого, …. Справедливо следующее утверждение: если все входящие в вычисления частные производные непрерывны, то смешанные частные производные не зависят от последовательности дифференцирования, т.е. в случае непрерывности, например .

Пример 1.8. Пусть , тогда: ; ; ; ; .

Градиент, дивергенция, ротор

Если каждой точке М пространства или некоторой его области V поставлена в соответствие скалярная величина u(М), то говорят, что в этой области задано скалярное поле. В декартовой системе координат задание скалярного поля эквивалентно заданию функции трех переменных u(М) = u(x,y,z). Примерами скалярных полей могут служить поле температур данного тела, поле атмосферного давления и т.д. Пусть функция u(x, y, z) является непрерывно дифференцируемой в области V. В каждой точке этой области определен вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных функции u(x,y,z):

Вектор grad u направлен в сторону наибыстрейшего возрастания скалярного поля u(М), а длина градиента равна наибольшей скорости изменения поля u в точке М.

Если каждой точке М некоторой области V поставлен в соответствие определенный вектор , то говорят, что в этой области задано векторное поле. В декартовой системе координат задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций: P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) – проекций этого вектора на оси координат. Вектор в этом случае записывается в виде

а функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) являются непрерывно дифференцируемыми в области V. В качестве примера векторного поля можно рассмотреть поле скоростей стационарного потока жидкости. Дивергенцией векторного поля называется скаляр

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор

Все рассмотренные величины полей: grad u, div и rot вычисляются с помощью частного дифференцирования скалярного поля u и компонентов P, Q, R векторного поля . Таким образом, мы имеем дело с дифференциальными операциями первого порядка. Наряду с ними можно рассмотреть дифференциальные операции второго порядка: grad div , rot rot и div grad u. Рассмотрим последнюю операцию:

Эту операцию можно записать кратко, вводя оператор Лапласа

Для векторного поля