Показатели формы распределения

На практике приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинным распределением. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. При изучении распределений, отличных от нормального, возникнет необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят такие характеристики, как асимметрия и коэффициент эксцесса. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному.

1) Коэффициент асимметрии определяется по формуле:

.

Если =0, то ряд симметричен относительно моды.

При >0 скошенность вправо, средняя арифметическая правее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена справа от моды. При правосторонней асимметрии .

При <0 скошенность влево, средняя арифметическая левее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена слева от моды. При левосторонней асимметрии .

Напомним, что мода – точка максимума дифференциальной функции распределения.

В нашем случае:

=–0,3.

Коэффициент асимметрии отрицательный, следовательно “длинная часть” кривой, полученной на основании опытных данных, расположена слева от моды и средняя арифметическая левее моды (рисунок 3). Заметим, что в нашем случае коэффициент асимметрии близок к нулю.

Рисунок 3. – Левосторонняя асимметрия.

2) Коэффициент эксцесса определяется по формуле:

.

Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая (островершинное распределение); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и "плоскую" вершину, чем нормальная кривая (плосковершинное распределение).

Замечание: . Если близок к –2, то кривая двухвершинная. При кривая распадается на две островершинные кривые, что говорит о неоднородности статистического материала.

В нашем случае:

.

Коэффициент эксцесса отрицательный, следовательно, вершина кривой ряда распределения ниже, чем у кривой нормального распределения.

Рисунок 4. – Плосковершинное распределение.

6. Точечные и интервальные оценки параметров
генеральной совокупности

Задачи математической статистики практически сводятся к оценке свойств генеральной совокупности по результатам случайной выборки.

Любую функцию от результатов выборочных наблюдений принято, называть статистикой (выборочной характеристикой). Статистики обычно и используются для построения статистических оценок параметров генеральной совокупности, когда точные значения этих параметров нам неизвестны. Статистику используемую как оценку параметра , называют точечной оценкой. Из точечных оценок в приложениях математической статистики наиболее часто используют среднюю арифметическую как оценку математического ожидания , выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение , как оценки генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения .

В математической статистике в зависимости от задачи статистику рассматривают либо как случайную величину, либо как число (конкретную реализацию случайной величины). Возникает вопрос, каким требованиям должны отвечать точечные оценки, чтобы их можно было считать в каком-то определенном смысле "хорошими". Эти требования характеризуют понятиями несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценку называют несмещенной, если при любом объеме выборки n ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , то есть = .

В случае большой выборки оценка параметра называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (то есть в случае конечной генеральной совокупности объемом N или при в случае бесконечной генеральной совокупности) она стремится к оцениваемому параметру .

Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если среди прочих несмещенных оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности в нашем примере:

9,0548; 9,115; 9,097; 0,89;
0,7988; 9,8%; –0,3; –0,25.

Точечная оценка без указания степени точности и надежности малоинформативна, так как наблюдаемые значения статистики есть лишь значения случайной величины. Она может существенно отличаться от оцениваемого параметра при малом объеме выборки, что приводит к грубым ошибкам.

Интервальной оценкой параметра называют такой интервал , относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице вероятностью , что он содержит неизвестное значение . Величину называют доверительной вероятностью или надежностью оценки параметра , , – некоторые функции от результатов выборочных наблюдений . Разность 2 = – между верхней и нижней границами доверительного интервала называют длиной доверительного интервала, а величину – точностью оценки.

Для построения интервальных оценок необходимо знать закон распределения статистики .

На практике закон распределения генеральной совокупности неизвестен. В этом случае пользуются приближенным методом построения доверительных интервалов, суть которого в следующем: если считать, что распределение выборочных характеристик в больших выборках асимптотически нормалью (для дисперсии это справедливо при , а для средней арифметической при ), то доверительные интервалы строятся следующим образом

.

где – оцениваемый параметр; * – выборочная оценка параметра; – стандартные ошибки выборочной характеристики (главный член среднего квадратического отклонения); – найденное по таблице значений функций Лапласа , соответствующее доверительной вероятности :

.

Стандартные ошибки:

а) выборочной средней :

б) выборочной дисперсии : ;

в) выборочного среднеквадратического отклонения :

г) выборочного коэффициента асимметрии :

д) выборочного коэффициента эксцесса :

е) выборочного коэффициента вариации :

ж) выборочной медианы : .

В нашем примере при имеем следующие стандартные ошибки:

а) выборочной средней :

б) выборочной дисперсии :

в) выборочного среднеквадратического отклонения :

г) выборочного коэффициента асимметрии :

д) выборочного коэффициента эксцесса :

е) выборочного коэффициента вариации :

ж) выборочной медианы :

Построим доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности нашего примера при .

1) Для математического ожидания:

,

8,879619 9,229981.

2) Для дисперсии:

,

0,776699 0,820985.

3) Для среднеквадратического отклонения:

,

0,769908 1,017651.

4) Для коэффициента асимметрии:

,

-0,78765 0,172362.

5) Для коэффициента эксцесса:

,

-1,25322 0,666792.

6) Для коэффициента вариации:

,

8,489497 11,25207.

7) Для медианы:

,

,

8,87744 9,31656.