Обратная связь
|
Проверка гипотезы о виде распределения
Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.
Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.
Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.
Теоретические частоты вычисляются по формулам:
1) в случае дискретной случайной величины , где – объем выборки; – вероятность случайной величины принять значения равное .
2) в случае непрерывной случайной величины , где – объем выборки, – середина интервала; – функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h – длина интервала.
Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:
где – опытные частоты, – выравнивающие частоты.
Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического , найденного по таблицам распределения для уровня значимости и числа степеней свободы , где – число интервалов, – число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).
Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r=2, то число степеней свободы .
Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим ( 50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти . Интервалы, у которых <5 нужно объединить, а их частоты сложить.
Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости . Найдем выравнивающие частоты.
Таблица 4.
|
|
|
|
|
|
| 6,97
|
| 11
| -2,09
| -2,34
| 0,0258
| 1,2412
|
| 12
| 7,40
|
| -1,66
| -1,86
| 0,0707
| 3,4014
|
| 7,83
|
| -1,23
| -1,38
| 0,1569
| 7,5485
|
| 8,26
|
| -0,80
| -0,89
| 0,2685
| 12,9176
|
| 8,69
|
| -0,37
| -0,41
| 0,3668
| 17,6469
|
| 9,12
|
| 0,06
| 0,07
| 0,3980
| 19,1479
|
| 9,55
|
| 0,49
| 0,55
| 0,3429
| 16,4970
|
| 9,98
|
| 0,92
| 1,03
| 0,2347
| 11,2915
|
| 10,41
|
| 11
| 1,35
| 1,51
| 0,1276
| 6,1389
|
| 9
| 10,84
|
| 1,78
| 1,99
| 0,0551
| 2,6509
|
| | | | | | | | | | | Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)
=
=3,15.
Определим . Число степеней свободы =7–3=4, тогда при уровне значимости имеем =9,5.
Имеем < . Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.
Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:
.
Интегральная функция распределения такова
.
Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса
.
Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса
Приложение 1
Таблица значений функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.0
| 0.3989
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.0
| 0.2420
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1.9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.0
| 0.0540
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2.9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.0
| 0.0044
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 2
Критические точки распределения χ2
Число степеней свободы
| Уровень значимости α
| 0.01
| 0.025
| 0.05
| 0.95
| 0.975
| 0.89
|
| 6.6
| 5.0
| 3.8
| 0.0039
| 0.00098
| 0.00016
|
| 9.2
| 7.4
| 6.0
| 0.103
| 0.051
| 0.020
|
| 11.3
| 9.4
| 7.8
| 0.352
| 0.216
| 0.115
|
| 13.3
| 11.1
| 9.5
| 0.711
| 0.484
| 0.297
|
| 15.1
| 12.8
| 11.1
| 1.15
| 0.831
| 0.554
|
| 16.8
| 14.4
| 12.6
| 1.64
| 1.24
| 0.872
|
| 18.5
| 16.0
| 14.1
| 2.17
| 1.69
| 1.24
|
| 20.1
| 17.5
| 15.5
| 2.73
| 2.18
| 1.65
|
| 21.7
| 19.0
| 16.9
| 3.33
| 2.70
| 2.09
|
| 23.2
| 20.5
| 18.3
| 3.94
| 3.25
| 2.56
|
| 24.7
| 21.9
| 19.7
| 4.57
| 3.82
| 3.05
|
| 26.2
| 23.3
| 21.0
| 5.23
| 4.40
| 3.57
|
| 27.7
| 24.7
| 22.4
| 5.89
| 5.01
| 4.11
|
| 29.1
| 26.1
| 23.7
| 6.57
| 5.63
| 4.66
|
| 30.6
| 27.5
| 25.0
| 7.26
| 6.26
| 5.23
|
| 32.0
| 28.8
| 26.3
| 7.96
| 6.91
| 5.81
|
| 33.4
| 30.2
| 27.6
| 8.67
| 7.56
| 6.41
|
| 34.8
| 31.5
| 28.9
| 9.39
| 8.23
| 7.01
|
| 36.2
| 32.9
| 30.1
| 10.1
| 8.91
| 7.63
|
| 37.6
| 34.2
| 31.4
| 10.9
| 9.59
| 8.26
|
| 38.9
| 35.5
| 32.7
| 11.6
| 10.3
| 8.90
|
| 40.3
| 36.8
| 33.9
| 12.3
| 11.0
| 9.54
|
| 41.6
| 38.1
| 35.2
| 13.1
| 11.7
| 10.2
|
| 43.0
| 39.4
| 36.4
| 13.8
| 12.4
| 10.9
|
| 44.3
| 40.6
| 37.7
| 14.6
| 13.1
| 11.5
|
| 45.6
| 41.9
| 38.9
| 15.4
| 13.8
| 12.2
|
| 47.0
| 43.2
| 40.1
| 16.2
| 14.6
| 12.9
|
| 48.3
| 44.5
| 41.3
| 16.9
| 15.3
| 13.6
|
| 49.6
| 45.7
| 42.6
| 17.7
| 16.0
| 14.3
|
| 50.9
| 47.0
| 43.8
| 18.5
| 16.8
| 15.0
|
ЛИтература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2005. – 479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2007. – 404 с.
3. Баранова И.М., Часова Н.А. Основы теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие. Ч. 1 Теория вероятностей. / И.М.Баранова [и др.]. – Брянск, 2011. – 140 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 4
1. Основные понятия математической статистики. 6
2. Построение вариационного ряда. 7
3. Графическое изображение вариационных рядов. 8
4. Эмпирическая функция распределения. 10
5. Основные выборочные характеристики. 12
6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности 18
7. Статистическая проверка гипотез. 22
8. Предварительный выбор закона распределения. 25
9. Проверка гипотезы о виде распределения. 28
Приложение 1. 32
Приложение 2. 33
ЛИтература.. 34
Баранова И.М., Часова Н.А.
МАТЕМАТИКА
Статистическая обработка экспериментальных данных
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров очной и заочной форм обучения
Формат Объем Тираж Заказ
Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел
Отпечатано: Печатный цех БГИТУ
|
|