Иов Борецкий – митрополит – Милостынею

Математика вивчає закономірні явища матеріального світу. Закономірні події – це події, які завжди відбуваються при однакових умовах. Поряд з закономірними спостерігаються незакономірні – випадкові, які не передбачувані. Випадкова подія – це подія, що може відбутися або не відбутися внаслідок випробування ( досліду, стохастичного експерименту), результат якої наперед не можна передбачити.

Нехай в серіях в незалежних випробувань випадкова подія настане раз. Число називається частотою, а - відносною частотою настання випадкової події в серіях з випробувань.

Виявляється, що в серіях великого масового числа випробувань відносна частота при однакових умовах: , і з деякою похибкою коливається в околі деякого сталого числа р, яке об’єктивно є її числовою характеристикою. Теорія ймовірностей вивчає закономірності випадкових подій, для яких властива стійкість відносної частоти при масових випробуваннях.

Кожен результат події називається елементарною подією. Довільна підмножина елементарних подій – називається випадковою подією.

Елементарні події бувають: вірогідні, неможливі, єдино можливі, рівноможливі, несумісні і сумісні.

Вірогідна – при випробуванні може здійснитися

Неможлива – яка не відбудеться

Єдино можлива подія – поява її є вірогідною

Рівноможливі – за однакових умов випробування поява однієї не має переваги перед появою іншої.

Несумісні (сумісні) – поява однієї виключає (не виключає) появу іншої в одному експерименті

Результат або наслідок події: благоприємні або неблагоприємні

Позначимо - множина всіх можливих результатів події в серії випробувань. Кожний результат події будемо називати елементарною подією, що позначається . Люба підмножина множини наз. елементарною подією. Множина , елементарних подій називається простором елементарних подій і на ній означені операції суми, добутку, доповнення, т.б. визначена алгебра випадкових подій.

Оскільки за означенням випадкова подія є підмножиною простору , як універсальної множини, тому можна використовувати по аналогії означення операції над множинами для означення операції над випадковими подіями, а також діаграми Ейлера-Венна для їх зображення.

Теорія множин	Теорія ймовірностей
	простір елементарних подій
	достовірна подія
	неможлива подія
	подія А спричиняє подію В
	відбулася хоча б одна з подій
	відбуваються події А і В
	подія А відбулася, а В – ні
	протилежна події А, настає тоді, коли не настає подія А
	події несумісні
	обидві настають або ні

Приклад.

Монету підкидають тричі. Описати простір елементарних подій та події А – принаймні один раз з'явиться герб, В – за другого підкидання з'явиться цифра. Знайти

Розв’язання: елементарні події

Простір елементарних подій:

Події

За означеннями суми, добутку, різниці подій та протилежної події:

ЗАКОНИ ОПЕРАЦІЙ НАД ВИПАДКОВИМИ ПОДІЯМИ

def. Імовірністю події А називається означена на алгебрі подій простору однозначна дійсна функція:

ПОВНА ГРУПА ПОДІЙ

КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

ГЕОМЕТРИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ

СТАТИСТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ

У випадках, коли для обчислення ймовірності випадкової події неможливо побудувати її імовірнісну модель простору елементарних подій, які за певного числа проведених експериментів в однакових умовах характеризуються стійкістю відносних частот. В таблиці наведено результати дослідів, що проводились французьким природознавцем Ж. Бюффоном (Georges Louis Lecrerc Comte de Buffon, 1707-1788) і англійським математиком К. Пірсоном (Carl Pearson, 1857-1936). Відносна частота мало відхиляється від 0.5.

Дослідник	Число підкидувань монет (n)	Число випадань „Орла” (m)	Відносна частота випадання „Орла” ( )
Ж. Бюффон			0.5080
К. Пірсон			0.5016
К. Пірсон			0.5005

Означення.

Статистичною ймовірністю статистично стійкої випадкової події А називається її відносна частота і позначається

,

де m – число експериментів, в яких подія А відбулася, n – загальне число всіх проведених експериментів.

Приклад.

У випробуванні відносна частота стандартних деталей із 300 деталей дорівнює 0,85. Знайти число стандартних деталей. .

Схема урн: вибірка проводиться з урни, в якій ретельно перемішані різнокольорові кулі одного радіуса гладкої поверхні однієї ваги.

Елементарні події за схемою урн наз. рівноймовірними, якщо ймовірності їх настання однакові.

Приклади

1.В урні: 15 ч.,9 с.,6 з. куль. Навмання виймають 6 куль. Яка ймовірність того, що серед вийнятих куль буде 3 ч.,2 с.,1 з?

Розв’язання:

2.Із карток з літерами А,Б,В,К,І,Н,О,П,Р,Ш вибирають 6. Яка йм. складання слова БАНКІР?

3.У цеху 15 верстатів, які знаходяться або в робочому стані або ні. Знайти ймовірність того, що під час роботи вийдуть з ладу 4 верстати.

4.Монета підкидається 20 разів. Знайти йм. того, що орел випаде 7 або (+) 17 разів.

5. (Геометрична ймовірність)

Знайти ймовірність того, що числазадовольняють нерівності

6.(Статистична ймовірність)

З партії деталей вибрано 100, серед яких виявилося 5 бракованих. Знайти відносну частоту появи брак. дет.

7.Відносна частота станд. дет із 200 дет. дорівнює 0.9. Знайти число станд.дет.