Тема 5 Потоки платежей. Финансовые ренты

Для заочной формы обучения

по направлениям:

080100.62 «Экономика»

080500.62 «Менеджмент»

Челябинск

Математика финансов: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы / И.Ю.Коробейникова - Челябинск: ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2014.- 31с.

Математика финансов: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы: 080100.62 «Экономика», 080500.62 «Менеджмент»,

ã Издательство ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Цель курса математики финансов в системе подготовки экономиста – освоение необходимого математического аппарата.

Это необходимо для анализа моделирования и решения прикладных экономических задач, в том числе с использованием ЭВМ.

Задачиизучения математики финансов как фундаментальной дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, в выработке умения моделировать реальные экономические процессы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Тема 1 Простые проценты

Сущность простых процентов состоит в том, что база для начисления процентов не изменяется от одного периода к другому, и наращение первоначальной суммы описывается арифметической прогрессией.

Размер прибыли от размещения денежных средств зависит от следующих факторов:

- размер размещаемого капитала (Р);

- срок размещения капитала в годах (n);

- размер процентной ставки (i).

Размер дохода ( процентных денег) (L) можно рассчитать по формуле:

L=P*n*i

По окончании договора заемщик должен выплатить кредитору сумму размещаемого капитала и сумму начисленных процентов. Данная величина называется наращенной суммой (S) и рассчитывается по формуле:

S = P+L = P + P * n *i = P ( 1 + n * i )

( 1 + n * i ) - множитель наращения простых процентов.

Если в кредитной сделке ее срок не равен целому числу лет, то период сделки определяется дробью:

t – продолжительность сделки в днях;

k – календарное число дней в году;

тогда формула наращенной суммы будет иметь вид:

Размер выбранного периода времени может исчисляться по разному, в этой связи применяются следующие методики расчета:

- английская практика –точные расчеты с точным числом дней кредита между двумя датами и продолжительностью года равной календарному;

- французская практика –обыкновенные проценты с точным числом дней кредита и продолжительностью года 360днй;

- германская практика – простые проценты с приблизительным числом дней кредита ( каждый месяц равен 30 дням ) и продолжительностью года 360 дней.

Запомните: при применении любой из практик день заключения сделки к расчету процентов не принимается.

Пример:Рассчитать число дней для расчета процентов по сделке с применением всех практик, если договор заключен 18.01 и расторгнут 03.03

( год невисокосный)

Решение:

Ответ: английская практика 44 дня; французская практика 44 дня; германская практика 45 дней.

Если для расчета наращенной суммы используются процентные ставки различные для отдельных промежутков времени (дискретные) внутри срока сделки, то наращенная сумма рассчитывается по формуле:

S = P (1 + n(1) * i (1)+ n (2)* i (2)+ … + n(t) * i (t))

Пример:Рассчитать сумму накопленного долга, если предлагаются следующие условия для годового депозита: первое полугодие ставка 20% годовых, каждое последующий квартал ставка увеличивается на 8% . Сумма размещаемых средств 50000 рублей.

Решение:

Определим различные сроки изменения ставок внутри периода сделки: n = 1 = 0.5 + 0.25+0.25/

Определим различные изменения ставок внутри периода сделки: i(1 )= 20 %; i(2)= 28 %; i (3) = 36 %.

Рассчитаем наращенную сумму: S = 50000 (1 + 0,5*0,2+0,25+0,28+0,25+0,36)= 63000.

Ответ: 63000 рублей

Если срок сделки не равен целому числу лет (выражен дробным числом), то для расчета наращенной суммы используется смешанный метод начисления процентов. Формула наращенной суммы в этом случае выглядит следующим образом:

а – количество целых периодов начисления процентов в течении срока сделки:

в – отношение оставшегося периода начисления процентов к периоду начисления процентов.

Пример:На сумму 600000 рублей ежеквартально начисляются сложные проценты по ставке 12 % годовых. Проценты начисляются в течении 16 месяцев. Определить наращенную сумму.

Решение:

Определим целый и дробный период сделки: Так как проценты начисляются ежеквартально (1 квартал = 3 месяца), то в 16 месяцев содержат 5 целых кварталов (5 * 3 = 15). Дробный период сделки составляет 16 – 15 = 1 месяц. Один месяц от периода начисления процентов (квартала) составляет 1 / 3.

а = 5; в = 1/3.

Рассчитаем наращенную сумму:

Ответ: 723595 рублей 62 копейки

. (2,тема.1, §1.1; с.5-12);

Тема 2 Сложные проценты

Сущность сложных процентов состоит в том, что база для начисления процентов не изменяется от одного периода к другом на сумму процентов начисленных в предыдущем периоде (капитализация), и наращение первоначальной суммы описывается геометрической прогрессией.

Наращенная сумма при расчете сложных процентов рассчитывается по формуле:

Если капитализация производится несколько раз в год, а договоре указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной, то наращение суммы рассчитывается по формуле:

Где:

S – наращенная сумма долга;

P- первоначальная сумму договора;

J – номинальная годовая ставка начисления процентов;

n – срок сделки в годах;

m - количество начислений процентов в течении года.

Пример:Рассчитать сумму накопленного долга, если, депозит открыт на срок 3 года. Сумма размещаемых средств 50000 рублей. Проценты по ставке 10% годовых начисляются ежеквартально.

Решение:

Рассчитаем наращенную сумму:

Ответ: 67247 рублей 42 копейки.

. (2,тема.2, §2.1; с27-29);

Тема 3 Дисконтирование

Дисконтирование – это процесс определения современной т.е. текущей стоимости капитала, если известна его будущая стоимость.

Различают математическое и банковское дисконтирование. Банковское дисконтирование осуществляется на основе учетной ставки (d), математическое на основе процентной ставки (I). Дисконтирование осуществляется как по простым, так и по сложным процентам.

Дисконтирование по простым процентам:

Математическое дисконтирование осуществляется по формуле:

Банковское дисконтирование осуществляется по формуле:

P = S * ( 1 – n*d).

Пример:Вексель номинальной стоимостью 500000 рублей был учтен в банке за 90 дней до срока погашения по учетной ставке 16% годовых. Определить дисконтированную величину векселя, при продолжительности года 360 дней..

Решение: Р = 500000 ( 1 – 90/360 * 0,16 ) = 480000.

Ответ: 480000 рублей.

Дисконтирование по сложным процентам:

Математическое дисконтирование осуществляется по формуле:

Банковское дисконтирование осуществляется по формуле:

Пример:Владелец долгового обязательства номинальной стоимостью 6000000 рублей со сроком погашения 2 года, сразу же после заключения договора учел его в банке по сложной ставке 9% годовых. Определить дисконтированную величину долгового обязательства, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение:

Ответ: 5001326 рублей 40 копеек

(2,тема.1, §1.3; с14-21);

Тема 4 Инфляция

Для количественной оценки инфляции используют такие показатели как уровень инфляции (r) и индекс инфляции (U).

Уровень инфляции показывает на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени.

r - уровень инфляции;

S(0) – цена товара на начало рассматриваемого периода;

S (1) - цена товара на конец рассматриваемого периода.

Для определения во сколько раз в среднем за рассматриваемый период выросли цены рассчитывается индекс инфляции.

U = 1 + r.

Если известен уровень инфляции за определенный период в течении срока сделки, то индекс инфляции можно найти по формуле:

n – количество изменений уровня инфляции в течении срока сделки.

Определим формулы различных процентных ставок с учетом инфляции при применении простых процентов.

Процентная ставка с учетом инфляции:

Учетная ставка с учетом инфляции:

Определим формулы различных процентных ставок с учетом инфляции при применении сложных процентов.

Процентная ставка с учетом инфляции

Учетная ставка с учетом инфляции

Номинальная процентная ставка с учетом инфляции

Пример: Кредит в размере 50000 рублей выдан на 2 года. Реальная доходность операции составляет 10 % годовых. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить процентную ставку учитывающую инфляцию по простым процентам и сумму накопленного долга.

Решение: Определим индекс инфляции за весь срок сделки:

Определим процентную ставку учитывающую инфляцию:

Процентная ставка учитывающая инфляцию составляет 19% годовых.

Найдем наращенную сумму с учетом инфляции:

S (r) = 50000 (1 + 2 * 0,19 ) = 69000.

Ответ: 69000 рублей

(2,тема.2, §2.3; с30-35);

Тема 5 Потоки платежей. Финансовые ренты

Поток платежей все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы называют финансовой рентой или аннуитетом.

Обобщающими характеристиками финансовой ренты являются:

- наращенная сумма (S) – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, то есть на дату последней выплаты;

- современная величина (А) (современная стоимость, капитализированная стоимость) – это сумма всех членов потока, дисконтированных на определенный момент времени, совпадающий с началом потока или предшествующий ему. Современная величина показывает какую сумму следовало бы иметь на этот момент, что бы при начислении установленных процентов на момент окончания ренты получить наращенную сумму.

- размер платежа финансовой ренты (R) – сумма всех внесенных платежей в течении года, одним или несколькими платежами

Различают два вида финансовых рент: рента постнумерандо - платежи осуществляются в конце периода, рента пренумерандо - платежи осуществляются в начале периода.

Величина финансовой ренты зависит от количества платежей в году (Р) и от количества начислений процентов в году (m).

Формулы для расчета наращенной суммы ренты постнумерандо:

Р=1; m=1

Р=1; m 1

Р 1; m=1

Р 1; m= р

Р 1; m=/=1

Формулы для расчета современной величины ренты постнумерандо:

Р=1; m=1

Р=1; m 1

Р 1; m=1

Р 1; m= р

Р 1; m =\=1

Пример: В инвестиционный фонд в течении 3-х лет вносится в конце по 100000 рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых. Определить размер инвестиционного фонда если взносы осуществляются один раз в год, а проценты начисляются ежеквартально.

Решение: Необходимо определить формулу для проведения расчета для нахождения размера инвестиционного фонда (S).Для этого определяем дополнительные данные: взносы осуществляются один раз в год ( Р = 1), проценты начисляются ежеквартально (m = 4 ). Этим параметрам удовлетворяет следующая формула:

Ответ: 330769 рублей 23 копейки

Формулы для расчета ренты пренумерандо изучите самостоятельно.

(2,тема.4, §4.1- 4.4; с57-70);