ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Глава 2

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

§ 1. ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
И ИСТОЧНИКИ ЕЕ ПОЯВЛЕНИЯ

Процесс познания окружающего нас материального мира, происходящих в нем процессов и явлений осуществляется с помощью определения количественных значений характеризующих их физических величин. Познавая окружающий нас мир, физические предметы и явления, мы стремимся определить истинное значение характеризующих их физических величин. Однако абсолютно точно определить, измерить их значение невозможно. Наше познание будет с той или иной степенью точности приближаться к истинному значению. Точность измерения истинных значений физических величин зависит от метода измерения, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, от условий проведения измерений и от свойств органов чувств наблюдателя. Таким образом, результат измерения складывается из двух величин: истинного значения величины и погрешности ее измерения. Но, как мы уже отмечали, даже пользуясь самыми точными измерительными средствами, выполняя измерения самым тщательным образом, мы все равно не получим истинного значения физической величины. Поэтому при определении погрешности пользуются не истинным, а действительным значением величины.

Согласно ГОСТ 16263-70 под действительным значением физической величины следует понимать такое ее значение, которое найдено экспериментальным путем и настолько приближается к истинному значению, Что для данной цели может быть использовано вместо него. Отклонение результата от действительного значения измеряемой величины называется погрешностью измерения

Следовательно, результат всякого измерения является функцией двух величин: действительной величины и погрешности измерения.

Если действительную величину обозначить а погрешность ее измерения , то результат определиться равенством

(2.1)

откуда

(2.2)

т. е. погрешность представляет собой разность между результатом измерения и действительным значением физической величины.

Так, если измеренный диаметр вала равен а действительное значение диаметра то погрешность измерения

Чтобы определить действительное значение измеряемой величины, необходимо согласно (2.1) из результата вычесть погрешность

т. е. внести поправку в приближенное значение измеряемой величины

Если поправку обозначить через то получим

(2.3)

или

(2.4)

Следовательно, поправка представляет собой погрешность, взятую с обратным знаком. В нашем примере поправка и действительное значение измеряемой величины мм.

Несмотря на огромное количество причин возникновения погрешностей измерении, их можно объединить в следующие группы: методические, инструментальные и субъективные

Методические погрешности являются следствием неточности метода измерения или расчетной формулы, положенной в основу создания прибора. Методические погрешности могут быть также обусловлены тем, что принципиальная схема прибора не обеспечивает точного воспроизведения функциональной зависимости, связывающей измеряемую величину с той, на которую в действительности реагирует чувствительный элемент.

В качестве примера можно привести попытки создания прибора для определения количества воды в нефти (влагомера) по изменению диэлектрической проницаемости. Действительно, диэлектрическая проницаемость воды существенно отличается от диэлектрической проницаемости нефти и изменение количества воды в водонефтяной эмульсии приводит к изменению суммарной диэлектрической проницаемости последней. Однако диэлектрическая проницаемость самой нефти для различных ее сортов различна и несколько изменяется с изменением температуры и количества растворенного в нефти газа. Результаты измерения количества воды в нефти влагомерами, не учитывающими влияния отмеченных факторов, содержали погрешность.

Инструментальные погрешности являются следствием недостатка конструкции прибора, несоблюдения технологии его изготовления, неточности изготовления деталей прибора, недостатков регулировки и сборки прибора, а также следствием его износа или старения. Инструментальные погрешности делят на следующие основные группы: шкаловые погрешности, погрешности трения, погрешности, вызванные наличием зазоров, погрешности остаточной деформации (гистерезиса).

Шкаловые погрешности возникают вследствие смещения шкалы, эксцентриситета круглой шкалы, неточной ее градуировки (если шкала градуируется индивидуально для каждого прибора), неточности установки стрелки при сборке прибора.

Погрешности, вызываемые трением, обусловлены силами (моментами) трения, возникающими в опорах и подвижных соединениях. Силы трения всегда направлены против движения подвижных частей прибора. Поэтому при возрастании измеряемой величины прибор дает заниженные показания, а при убывании — завышенные. Погрешность трения определяют при испытаниях прибора путем сравнения его показаний до и после постукивания по прибору. При этом стрелка прибора смещается на величину, характеризующую погрешность трения.

Погрешности, вызываемые наличием зазоров, возникают в случаях, когда зазоры в опорах и подвижных соединениях не выбираются пружинами. Эти погрешности при статических измерениях могут проявляться в виде непостоянства показаний прибора. Для устранения этих погрешностей зазоры по возможности уменьшают и применяют пружины, выбирающие зазоры.

Погрешности остаточной деформации упругих элементов проявляются в том, что подвижная система не возвращается в исходное положение после прекращения действия измеряемой величины или значения одной и той же измеряемой величины не совпадают при отсчетах, когда измеряемая величина возрастает и убывает. Такие погрешности называют гистерезисом. Для уменьшения погрешности остаточной деформации упругие элементы выполняют из специальных сплавов. При изготовлении упругих элементов необходимо строго соблюдать технологию термической обработки. Но и при этом полностью устранить погрешность остаточной деформации не удается. Поэтому остаточные деформации относят к погрешностям, величина которых устанавливается нормами на так называемое допустимое расхождение в показаниях прибора, а также на невозвращение стрелки к нулю шкалы после снятия нагрузки.

Инструментальные погрешности определяются экспериментально и заносятся в паспорт прибора. Однако определенные однажды, они не остаются неизменными в течение всего срока эксплуатации прибора. Шкаловые погрешности могут изменяться от смещения стрелок. Погрешности трения могут возрасти от засорения механизма прибора пылью, из-за коррозии деталей, нарушения нормальной смазки и т. д. Погрешности остаточной деформации (гестерезис) могут возрасти при работе прибора вблизи крайних точек шкалы. Таким образом, инструментальные погрешности не являются величиной постоянной. Поэтому, чтобы быть уверенным в том, что инструментальные погрешности находятся в допустимых пределах, необходимо периодически поверять приборы, т. е. сравнивать показания рабочих приборов с образцовыми. Такую поверку прибора следует выполнять перед использованием приборов даже в тех случаях, если прибор в течение длительного времени не эксплуатировался.

Субъективные погрешности — это такие погрешности, которые связаны с индивидуальными качествами наблюдателя (исследователя, оператора). Эти погрешности зависят от индивидуальной оценки показаний прибора тем или иным наблюдателем, от опытности его, от положения наблюдателя относительно прибора. По причинам появления погрешности можно разделить на систематические, случайные и грубые.

Систематические погрешности — это погрешности измерения, остающиеся постоянными или закономерно изменяющимися при повторных измерениях одной и той же величины. К систематическим погрешностям относятся: инструментальные, погрешности установки, являющиеся следствием неправильной установки прибора (не по отвесу или уровню), методические. Систематические погрешности можно изучить и определить влияние их на результат измерения, а также устранить. Но даже если все систематические погрешности учтены, т. е. вычислены и введены все поправки, то и в этом случае результаты измерения все же не свободны от случайных погрешностей.

Случайными погрешностями называют погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Они обнаруживаются при повторных измерениях, выполненных с одинаковой тщательностью. Эти погрешности следуют законам, которые выводятся в теории вероятностей по отношению к случайным величинам. Закономерность случайных погрешностей обнаруживается путем анализа и сравнения большого ряда измерений. Источниками случайных погрешностей являются различные неконтролируемые условия. Случайная погрешность зависит от точости измерительных приборов и тщательности выполнения измерений. Чем выше точность измерения, тем больше учитываются и исключаются факторы, неблагоприятно влияющие на результат измерения; чем тщательнее проводится измерение, тем меньше величина случайной погрешности. Но как бы тщательно измерения ни проводились, какими бы точными приборами для измерений ни пользовались, избежать случайных погрешностей невозможно.

Однако случайные погрешности можно оценить, влияние их на результат измерения свести к минимуму с помощью математических приемов, выработанных теорией вероятностей.

Грубыми погрешностями называют погрешности, явно превышающие по своему значению погрешности, оправданные условиями эксперимента. Причинами грубых погрешностей являются непредусмотренные изменения условий эксперимента, например внезапное изменение напряжения в сети электропитания. К грубым погрешностям (промахам) относят погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов. Грубые погрешности определяются специальными математическими методами (см. § 4, гл. 2). Наблюдения, содержащие грубые погрешности (промахи), должны быть исключены из дальнейшего рассмотрения.

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Процесс измерения представляет собой физический эксперимент, при многократном выполнении которого в одних и тех же условиях одними и теми же измерительными средствами и одним и тем же оператором мы получаем результаты, несколько отличающиеся друг от друга и, конечно, от действительного значения измеряемой величины. Получающиеся при этом погрешности носят случайный характер. Закономерности, присущие случайным явлениям и случайным событиям, рассматриваются теорией вероятностей.

Случайные погрешности в большинстве случаев подчинены следующим условиям:

1) равные по абсолютной величине и обратные по знаку погрешности равновероятны;

2) малые по абсолютной величине погрешности более вероятны, нежели большие;

3) вероятность появления погрешностей, превосходящих по величине некоторое определенное число, практически равна нулю (это число обычно называют пределом возможных погрешностей и обозначают Е).

Эти условия позволяют применить для их описания нормальный закон распределения.

Пусть — функция распределения погрешностей, т. е. вероятность того, что погрешность не превосходит величины :

(2.5)

Полагая, что погрешности представляют непрерывную случайную величину, можно определить вероятность того, что погрешность примет значение, заключенное между и с точностью до малых более высокого порядка, чем , т.е.

(2.6)

где — плотность распределения погрешностей.

Функция обладает следующими свойствами.

1. Функция — четная, т. е. . Это следует из того, что равные отклонения в обе стороны одинаково вероятны и поэтому плотности распределения вероятности в точках и равны между собой.

2. Функция при возрастании убывает, так как малые по абсолютной величине погрешности более вероятны, чем большие.

3. Функция при .

Итак, графиком функции _(рис. 2.1) будет непрерывная линия, симметричная относительно оси Оу, имеющая максимум при и случайных величин монотонно убывающая по обе стороны от нуля. При график асимптотически приближается к оси абсцисс. Вероятность того, что погрешность находится в некоторых определенных пределах определить по формуле

(2.7)

Известно, что

Пусть действительное значение измеряемой величины равно Измеренное значение и величины х есть величина случайная, закон распределения которой тесно связан с законом распределения погрешностей. Действительно, поскольку , то вероятность получения в результате измерения ԑ и значения x одна и та же. Если обозначить плотность вероятности величины x через , то . В силу четности функции получим . Это показывает, что графики функций и сдвинуты друг относительно друга на величину Q.Функция имеет максимум при , а функция — при . Из теории вероятности известно, что для нормального закона распределения наиболее вероятным значением искомой величины является среднее арифметическое полученных значений.

(2.8)

где х₁ х₂, ..., х_п — значения, полученные при измерении ве­личины X.

Если вычесть среднее значение из измеренных величин получим - на­зываемые к остаточными погрешностями, которые могут быть положительными и отрицательными.

Согласно свойству среднего арифметического при отсутствии погрешностей вычисления должно соблюдаться условие

Функция представляет собой закон распределения слу­чайных величин. Однако для практических целей иногда нет необходимости случайные величины характеризовать функцией распределения. Для практических целей оценки погрешностей измерений достаточно указать отдельные так называемые числовые характеристики, определяющие существенные черты распределе­ния случайной величины: среднее значение, около которого груп­пируются возможные значения случайной величины и число, характеризующее степень разбросанности этих значений относи­тельно среднего. Средним значением случайной величины будет математическое ожидание. Если взять случайную величину х, имеющую возможные дискретные значения х₁ х₂, ..., х_п с вероят­ностями Р₁, Р₂, ..., Р_п, то при п, стремящемся к бесконечности, среднее арифметическое будет некоторая величина М (х), назы­ваемая математическим о ж и д а н и ем

(2.9)

Но из теории вероятности известно, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице,

Следовательно,

(2.10)

т. е. математическим ожиданием дискретных значений случайной величины, называется сумма произведений всех возможных зна­чений случайной величины на вероятности этих значений.

Для непрерывных случайных величин с плотностью вероятно­сти математическим ожиданием будет

(2.11)

При определении центра группирования эмпирического распределения случайных величин, полученных в результате измерений погрешностей, мы получим величину

(2.12)

где – число полученных значений величины общее число наблюдений.

Выражение (2.12) можно записать в виде

, (2.13)

где —частость, представляющая отношение количества событий, полученного данного результата наблюдений, к общему количеству наблюдений.

Можно считать, что при , следовательно,

, (2.14)

т. е. мы пришли к выводу, что математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюденных значений.

Точность равенства (2.14) повышается с увеличением числа наблюдений N.

Основными числовыми характеристиками рассеивания случайной величины относительно центра группирования являются дисперсия н среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия D(x) служит мерой рассеивания (разбросанности) значений случайной величины х около центра группирования.

На рис. 2.2 изображены кривые распределения случайных величин одного типа с одним центром группирования , но с разными дисперсиями

Дисперсия вычисляется по следующим формулам: для дискретных величин

(2.15)

для непрерывной величин

(2.16)

При вычислении дисперсии распределения случайных величин, полученных в результате опыта, можно заменить математиче­ское ожидание средним арифметическим и вероятности Р(х) — частостями W(х). Тогда дисперсия эмпирического распределения может быть вычислена по формуле

(2.17)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядности характеристики рассеи наглядности характеристики рассеивания удобней пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Поэтому в качестве меры рассеивания значений случайной величины х чаще всего применяется среднее квадратическое отклонение случайной величины х от центра группирования

(2.18)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина, мерой рассеивания которой она является. Величина а является числовой характеристикой качества совокупности измерений, для которых она задана или вычислена. Чем больше а, тем хуже качество измерений. Если случайные погрешности в соответствии с принятыми условиями распределены по нормальному закону, математическое выражение распределения погрешностей имеет вид

(2.19)

где — дисперсия измерений; — центр рассеивания.

Кривая распределения по нормальному закону показана на рис. 2.3. Как видно, кривая симметрична относительно ординаты, соответствующей центру группирования . Ордината, соответствующая центру группирования , имеет максимальное значение

В том случае, _когда центр группирования совпадает с началом координат, т. е. = 0, выражение для закона нормального рас­пределения примет вид

Вероятность того, что случайная величина х лежит в пределах от а до b, в этом случае определится равенством

(2.20)

Выражение не интегрируется в элементарных функциях.

Поэтому для вычисления искомых интегралов составлена таб­лица значений функции

Функция Ф (z) называется функцией Лапласа.

Пользуясь табличными значениями функций, можно найти значение интеграла (2.21).

Для этого необходимо выразить все величины в долях , . Тогда равенство (2.20) запишется так:

(2.22)

Равенство (2.22) позволяет найти интересующие нас вероятно­сти. Значения функции Лапласа Ф (z) приведены в приложе­нии I.

Пример 1. Случайная величина X, распределенная по нормальному закону, представляет собой погрешность измерения ординаты на диаграмме глубинного манометра. При измерении допускается систематическая погрешность в сторону завышения 0,4 мм. Среднее квадратическое отклонение погрешности измере­ния равно 0,2 мм. Найти вероятности того, что отклонение изме­ренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной ве­личине 0,5 мм.

Погрешность измерения представляет собой случайную величину , подчиненную нормальному закону с параметрами и . Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от а = —0,5 до b = +0,5: ; .

По приложению находим Ф (z₁) = - 0,4999, Ф (z₂)=0, 1915.

По формуле (2.22) .