ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Одной из важнейших задач измерения является умение оце­нить меру приближения результата наблюдения к действитель­ному значению измеренной величины. Эта задача сводится к на­хождению оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — ряда значений, принимаемых этой величиной в п независимых опытах. Выше указывалось, что наиболее вероятным значением искомой величины является среднее арифметическое наблюденных значений.

Из этого, однако, не следует, что среднее арифметическое ближе к действительному значению, чем результат каждого от­дельного наблюдения. Напротив, некоторые из результатов на­блюдений могут быть ближе к Q, но, к сожалению, мы не можем выбрать эти результаты из числа других результатов ряда. Именно поэтому приходится определять среднее арифметическое. При каждом наблюдении величины А мы будем получать наблюдения х₁, х₂, ..., отклонения которых от действительного значения будут различны. Чем больше наблюдений будет выполнено, тем меньше влияние отклонения отдельного наблюдения па отклоне­ние среднего арифметического от действительного значения изме­ренной величины. При определении погрешностей наблюдение будем рассматривать равноточные измерения. Равноточными измерениями называются такие, которые про водятся при одних и тех же условиях, одним и тем же исследователем, пользующимся одним и тем же прибором, а все результата являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами.

Допустим, что наши результаты измерений свободны от систематических погрешностей (они известны и исключены из результатов измерений). Имеют место только случайные погрешности которые независимы между собой и подчиняются нормальному закону распределения. Необходимо определить, какова точность определения измеряемой величины и какова надежность ее полу­чения. Ранее было установлено, что вследствие неизбежных по­грешностей результат измерения всегда будет отличаться от дей­ствительного значения измеренной величины. Следовательно, можно предположить, что действительное значение измеряемой величины всегда находится где-то в окрестности значений X.

Если на числовой оси около точки X взять интервал с грани­цами X — ԑ; X + ԑ, то вероятность того, что действительное зна­чение измеряемой величины 0. лежит в пределах этого интервала, будет представлять собой доверительную вероят­ность или коэффициент надежности

(2.23)

Интервал (X — ԑ; X + ԑ) называется доверительным интервалом. Равенство (2.23) означает, что с вероятностью а результат наблюдения не выходит за пределы доверительного интервала. По мере увеличения доверительного интервала (т. е. уменьшения точности) увеличивается и надежность , т. е. чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты наблюдений не выйдут за его пределы. Следовательно, для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа: величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности. Указание только одной величины погрешности без указания соответствующей доверительной ве­роятности недостаточно, так как не характеризует степень на­дежности полученного результата измерения.

Величина Q окажется вне интервала (X — ԑ; X + ԑ) в том случае, если погрешность измерения по абсолютной величине превысит е:

.

Если погрешности измерений распределены по нормальному закону, то вероятность того, что случайная величина лежит в пре­делах

,

может быть найдена по формулам (2.20), (2.22)

. (2.24)

Пользуясь таблицей функции Лапласа, можно найти значения надежности для заданной точности и, наоборот, по заданной на­дежности можно найти величину доверительного интервала.

Ниже приведены некоторые значения отношения е/а и соответ­ствующие им значения надежности а, выраженные в процентах.

		2,5		1,5		0,674	0 5
	99,73	98,76	95,44	86,44	68,26		38,3

Следует обратить внимание на следующее. Так, при отноше­нии = 0,674 надежность того, что измеряемая величина будет в пределах заданного интервала = 50%, т. е. половина резуль­татов наблюдений будет за пределами заданного доверительного интервала. Далее видно, что средней квадратической погрешно­сти а соответствует надежность 68%. Надежность отношения = 3 равна 99,73% . Следовательно, вероятность появления погрешности, превышающая , практически равна нулю. Все рассмотренные числовые характеристики относятся к законам распределения случайных величин. Известно, что для выявления закона распределения необходимо располагать результатами весьма большого количества измерений. Однако на практике в большинстве случаев нам приходится пользоваться результа­тами ограниченного числа измерений — двадцати, десяти, а иногда и меньше. Любое значение искомого параметра закона распределения, вычисленное на основе ограниченного числа опы­тов, всегда будет содержать элемент случайности.

Например, математическое ожидание мы заменяем средним арифметическим результатом ограниченного числа наблюдений. При большом числе опытов значение среднего арифметического весьма близко к математическому ожиданию. Если же число опытов не велико, то замена математического ожидания средним арифме­тическим приводит к погрешности.

Иными словами, если мы измеряли величину Q и получили среднее арифметическое по результатам п измерений то

,

где

Для оценки точности среднего результата ограниченного числа наблюдений воспользуемся теорией выборок. Пусть все возмож­ные результаты измерений X составляют генеральную совокуп­ность, а полученные нами значения х_i — выборку из нее. Объем выборки равен числу результатов наблюдения. Величину X в ге­неральной совокупности будем считать распределенной нормально

со средним арифметическим и средним квадратическим откло­нением .

Полагая измерения свободными от систематических погрешно­стей, можем считать, что среднее генеральной совокупности равно действительному значению измеряемой величины Q:

Среднее из полученных нами результатов п измерений не всегда будет равно среднему генеральной совокупности .

Закон распределения средних значений из выборок генераль­ной совокупности нормального закона распределения представ­ляет также нормальный закон со средним значением, равным сред­нему значению генеральной совокупности, и дисперсией, равной частному от деления дисперсии генеральной совокупности на объем выборки. Следовательно, дифференциальный закон распре­деления среднего значения в выборках объема п из генеральной совокупности определяется равенством

(2.25)

где — дисперсия генеральной совокупности; — дисперсия средней выборочной.

В этом случае надежность результата при заданной точности будет

(2.26)

Числовые значения надежности можно также определить, пользуясь приложением 2. Только величины, стоящие в верхней строке, будут выражены в долях выборочной средней:

(2.27)

Иными словами, точность среднего результата из п измерений выше точности единичного измерения в раз. Как видно из (2.27), для оценки надежности среднего результата необходимо знать дисперсию генеральной совокупности. Обычно дисперсия не известна до опыта и о ней приходится судить на основании результатов измерения. Однако, основываясь на результатах п измерений, можно найти лишь дисперсию этих результатов отно­сительно своей выборочной средней

(2.28)

Найденная нами дисперсия не равна дисперсии генеральной совокупности; она несколько меньше последней. Математиче­ское ожидание выборочной дисперсии

За приближенное значение дисперсии генеральной совокуп­ности принимают

(2.29)

Оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений

(2.30)

При большом количестве опытов п (практически при п > 20) дисперсия , которую называют эмпирической, весьма близка к дисперсии генеральной совокупности а, поэтому оценка на­дежности неравенства осуществляется

так же, как и в случае, когда известно вычисленное по (2.27):

Если же п не достаточно велико ( ), надежность среднего результата измерений определяется с помощью распределения Стьюдента, согласно которому величина

имеет дифференциальный закон распределения вероятностей, описываемый функцией

(2.31)

где называется количеством степеней свободы в рас­пределении Стьюдента.

В выражении, определяющем величину t,

.

При этом рассматриваемое неравенство

можно записать в виде

(2.32)

Вероятность того, что величина будет находиться в интервале , определится выражением

(2.33)

Это и является оценкой надежности среднего арифметического, как результата измерения, заданного неравенством . Для вычисления интервала, стоящего в правой части (2.33), пользуются таблицей интеграла Стьюдента (см. при­ложение 2), в которой приведены значения , удовлетворяющие заданной надежности

(2.34)

Рассмотрим примеры пользования приложением II.

Пример 2. Какова величина доверительного интервала при надежности = 98%, если вычислено по результатам десяти измерений, а выборочное среднее квадратическое отклонение

По таблице Стьюдента (см. приложение II) находим для и .

Доверительный интервал

Следовательно, с вероятностью 0,98 можно утверждать, что

Пример 3. Необходимо определить, какова надежность того, что при условиях примера 2 доверительный интервал не будет превышать 0,02.

Находим величину . По таблице Стьюдента (см. приложение II) для п = 10 и t= 0,64 путем интерполяции между значениями = 0,4 и = 0,5 находим = 0,46.

Пользуясь таблицей Стьюдента, можно определить, каково должно быть число измерений при заданных точности и надеж­ности. Для этого напишем следующее равенство:

(2.35)

Таблица 2.1.

Необходимое число измерений для обеспечения заданной надежностиа и относительной погрешности

	Число измерений при различных
0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999
1,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1								1 089
0,05					1 084	1 540	2 659	4 338
0,01			10 732	16 436	27 161	38 416	65 558	108 307

Величину , выражающую границу доверительного интервала в долях величины дисперсии, называют также относительной погрешностью

(2.36)

Результаты решения уравнения сведены в табл. 2.1, которая дает необходимое число измерений для обеспечения заданной надежности и относительной погрешности .