Простейшее уравнение гиперболы

Здесь а - действительная полуось гиперболы, b—мнимая полуось гиперболы.

Если 2с — расстояние между фокусами гиперболы, то между а, b и с существует соотношение

a² + b² = с²

При b= а гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a²

фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси

е= .

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравне­ниями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

4.Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а пря­мая — ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y²= 2px

Входящая в это уравнение величина р называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы F( , 0). Уравнение директрисы параболы

.Эксцентриситет параболы е= 1.

Пример. Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.

Решение:

Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 2а = 20; 2с == 30. Значит, а = 10; с = 15 а² = 100; с² = 225.

Величины а, и и с у гиперболы связаны соотношением а² +b² = с²; отсюда

b ² = с² —а² = 225 — 100 Þ b ² = 125. Значит, уравнением гиперболы будет

Пример. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет е= 1,4. Найти уравнение гиперболы.

Решение:

По условию а = 5, значит а² = 25. По формуле е = =1,4, отсюда с = 1,4·а = 1,4 · 5 = 7; с² = 49; b² = с² - а² = 49 — 25 = 24, b² =24

Иско­мым уравнением будет

Пример. Найти уравнение асимптот гиперболы 2x² - 3y² = 6.

Решение:

У гиперболы две асимптоты, определяемые урав­нениями Следует найти a и b.

Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разде­лив обе его части на 6. Получим

Отсюда заключаем, чт а² = .3, а = ; b² = 2, b == . Подстав­ляя эти значения а и b в уравнения асимптот получаем: ;

IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Функция одной переменной

Если каждому значению переменной х (аргументу) из некоторого множества Х ставится в соответствие одно значение у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция f (x)со множеством значений Y, где Х – область определения функции, Y – область значения функции, или у является функцией от х и записывают у = f(x). Если функция задана аналитически, то областью существования функции (иначе, областью значения функции) называется совокупность тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение определяющее функцию, принимает только действительные значения.

Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х, f(x)). Графиком пользуются для геометрического изображения функций. Графики многих функций строят с помощью параллельного переноса, растяжения или сжатия основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических.

Функция у = f(x) называется четной, если выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f(x) называется нечетной, если выполняется равенство . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: Найти область значения функции:

Решение:

.

Предел функции.

Число А называется пределом функции при х , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при . Это записывают так: . Аналогично определяется предел при х .

Функция называется бесконечно большой при х , если и бесконечно малой при х , если . Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые при х .

При вычислении пределов необходимо знать такие теоремы:

- Const.

Если и существуют, то

Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения справедливо равенство

;

Const.

5. ,

Бесконечно малые и называются эквивалентными при х , если . Это записывают так:

Если при , то выполняются эквивалентности:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Предел отношений двух бесконечно малых не изменится , если заменить их эквивалентными величинами.

При вычислении пределов часто используют:

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

или

Вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом получаем неопределенности типа , то вычисление этого предела в этом случае называется раскрытием неопределенности.

Пример. Найти предел:

1. , здесь раскрываем неопределенность типа , поделив числитель и знаменатель на , где n = 5 (наивысшая степень х).

2. , здесь раскрыта неопределенность типа , поделив числитель и знаменатель на (х-2).

3.

= ,здесь, раскрывая неопределенность , избавились от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженный множитель .

4.

= .

В этом примере неопределенность раскрыли, используя первый замечательный предел и формулы эквивалентности.

5.

в этом примере неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Непрерывность функции

Функция называется f(x) называется непрерывной в точке х₀, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняется равенство

,

где , односторонние (левый и правый) пределы .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х0 .

Когда у функции f(x) имеются односторонние пределы и и не все числа f(x0) , f(x0 - 0) и f(x0 + 0) равны между собой , то разрыв в точке х0 называется разрывом I рода. Величина называется скачком функции.

Если , то разрыв в точке называется устранимым. Здесь полагая получают функцию непрерывную в точке х0.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то разрыв называется разрывом II рода.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке.

Алгебраическая сумма, произведение и суперпозиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Отношение двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель не равен нулю. Отсюда следует, что всякая элементарная функция непрерывна в точках, в которых она определена.

Пример. Исследовать на непрерывность:

1. имеет в точке х=2 разрыв I рода, поскольку . Скачек функции в точке х=2 равен

.

2. Функция f(x) = не определена в точке х = -1, потому в этой точке она имеет разрыв. Поскольку и , то в точке х = -1 функция имеется разрыв II рода.