Второе достаточное условие существования экстремума

Если в точке х = х0 первая производная функции f (х) = 0, то при х = х0 имеет место максимум, если < 0, и, минимум, если > 0. Если же = 0, то для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальней­шее исследование.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Область определения:

Значит, функция в точке х = 1 имеет максимум уmax (1) = 1/е.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наи­большее и наименьшее значения. Этих значений функция дости­гает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо:

определить кри­тическое точка функции;

вычислить значения функ­ции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь];

наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее - наименьшим значением функции на отрезке [а, Ь].

Точки перегиба.

Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вниз, если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.

Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вверх, если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.

Дуги кривой, обращенные выпуклостью вверх, в дальнейшем будем называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз,— вогнутыми.

Дуга кривой у = f (х) выпукла на интервале (а, Ь), если во всех точках этого интервала (х) < 0, и вогнута на этом ин­тервале, если во всех его точках (х) > 0.

Интервалы, в которых дуги кривой выпуклы, опре­деляются из неравенства (х) < 0, а интервалы, в которых дуги этой кривой вогнуты, - из неравенства (х) > 0.

Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.

Точки, кривой, в которых (х) = 0 или (х) = , а также те из них, в которых (х) не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек вто­рого рода.

В критической точке второго рода х = х0 перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку (х) меняет знак.

Для определения точек перегиба кривой надо опре­делить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки (х) в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки делят область существования функции. В случае, если знаки (х) в двух соседних интервалах различны, критическая точка второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних интервалах (х) имеет один и тот же знак, то в рассматри­ваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке перегиба кривая пересекает касательную.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

у = 5х2 + 20х + 9.

Решение. Область существования функции — интервал );

. и так как у" > 0 при любом значении х, то кривая вогнута на всем интервале ). Точек перегиба нет.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

Решение. Область существования функции - интервал ).

Найдем у": .

При любом х вторая производная конечна и существует. Критическую точку второго рода найдем из уравнения у" = 0, т.е. из уравнения Интервал существования функции она разделяет на два: . При любом х из первого интервала у" < 0, а при любом х из второго интервала у" > 0, значит - точка перегиба, а так как на первом интервале у" < 0, то дуга кривой на нем – выпукла, а во втором у" < 0, и дуга кривой вогнута. Координаты точек перегиба (4,-125).

Асимптоты.

Если расстояние d от точки кривой у = f (х), имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стре­мится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.

Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные и 3) наклонные.

1. Кривая у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у =b только в том случае, когда существует конечный предел функции f (х) при , и этот предел равен b , т. е. если

2. Кривая у = f (х) имеет вертикальную асимптоту х = а, если при . Для опре­деления вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргу­мента, вблизи которых f (х) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются а1, а2, …, то уравнения вертикальных асимптот будут

х = а1, х =а2…

3. Для определения наклонной асимптоты у = kx + b кривой у = f (х) надо найти числа k и b из формул

(следует отдельно рассматривать случаи ). Наклонные асимптоты у кривой у = f (х) существуют в том и только в том случае, когда эти пределы имеют ко­нечное значение. При определении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.

Пример. Найти асимптоты кривой

Решение. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальную асимптоту находим из условия

2х + 3 = 0 => х = - 3/2, при этом у , когда , у , когда . Определим наклонные асимптоты , уравнение которых имеет вид: у = kx + b

Так как k и b имеют конечные значения и равны между собой при х и при х , то имеется единственная наклонная асимптота, уравнение которой

Общее исследование функции

Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:

1. Определение области существования функции.
2. Выявление вопроса о четности и нечетности функции.
3. Определение точек разрыва функции.
4. Определение асимптот графика функции.
5. Определение интервалов возрастания и убывания функции.
6. Определение экстремума функции.
7. Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
8. Определение точек перегиба.
9. Нахождение пересечения с осями координат.
10. Построение графика функции.

Пример. Исследуем функцию

D (y) = ( ). Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

Точек разрыва нет.

Вертикальных асимптот нет; , наклонных асимптот нет.

5, 6. . Критические точки х = -2, х = 0.

х	( )	-2	(-2, 0)		( )
Знак	+	= 0	-		+
Поведение функции	Возрастает	max 3	Убывает	min	Возрастает

7, 8. , при х = 1, не существует при х = 0.

х	( )		( 0, 1)		( )
Знак	-	=	-	= 0	+
Поведение функции	Выпукла верх	Не является точкой перегиба	Выпукла верх	Точка перегиба у = 6	Выпукла вниз

9. х =0 и х = -5.

10.

Задание 1

1. Вычислить определитель матрицы А второго порядка

2. Вычислить определитель матрицы В третьего порядка

3. Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу

4. Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка

Задание 2

1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а

2. Решить методом Крамера систему уравнений Вx = b

3. Решить методом Гаусса систему уравнений Вx = b

Задание 3.

1. Решить матричным методом систему уравнений Ах = а

2. Решить матричным методом систему уравнений Вx = b

Задание 4.

Вычислить ранг матрицы.

1. , 2. ;

3. 4.

5. 6.

7. 8

9. 10.

Задание 5

Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х₁,у₁), В (х₂,у₂) и точка D (x₃,y₃)пересечения высот:

а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС.

б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.

в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х₄, у₄) до сторон треугольника.