Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Второе достаточное условие существования экстремума

 

Если в точке х = х0 первая производная функции f (х) = 0, то при х = х0 имеет место максимум, если < 0, и, минимум, если > 0. Если же = 0, то для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальней­шее исследование.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Область определения:

Значит, функция в точке х = 1 имеет максимум уmax (1) = 1/е.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

 

Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наи­большее и наименьшее значения. Этих значений функция дости­гает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо:

определить кри­тическое точка функции;

вычислить значения функ­ции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь];

наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее - наименьшим значением функции на отрезке [а, Ь].

 

Точки перегиба.

 

Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вниз, если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.

Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вверх, если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.

Дуги кривой, обращенные выпуклостью вверх, в дальнейшем будем называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз,— вогнутыми.

Дуга кривой у = f (х) выпукла на интервале (а, Ь), если во всех точках этого интервала (х) < 0, и вогнута на этом ин­тервале, если во всех его точках (х) > 0.

Интервалы, в которых дуги кривой выпуклы, опре­деляются из неравенства (х) < 0, а интервалы, в которых дуги этой кривой вогнуты, - из неравенства (х) > 0.



Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.

Точки, кривой, в которых (х) = 0 или (х) = , а также те из них, в которых (х) не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек вто­рого рода.

В критической точке второго рода х = х0 перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку (х) меняет знак.

Для определения точек перегиба кривой надо опре­делить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки (х) в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки делят область существования функции. В случае, если знаки (х) в двух соседних интервалах различны, критическая точка второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних интервалах (х) имеет один и тот же знак, то в рассматри­ваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке перегиба кривая пересекает касательную.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

у = 5х2 + 20х + 9.

Решение. Область существования функции — интервал );

. и так как у" > 0 при любом значении х, то кривая вогнута на всем интервале ). Точек перегиба нет.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

Решение. Область существования функции - интервал ).

Найдем у": .

При любом х вторая производная конечна и существует. Критическую точку второго рода найдем из уравнения у" = 0, т.е. из уравнения Интервал существования функции она разделяет на два: . При любом х из первого интервала у" < 0, а при любом х из второго интервала у" > 0, значит - точка перегиба, а так как на первом интервале у" < 0, то дуга кривой на нем – выпукла, а во втором у" < 0, и дуга кривой вогнута. Координаты точек перегиба (4,-125).

 

Асимптоты.

 

Если расстояние d от точки кривой у = f (х), имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стре­мится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.

Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные и 3) наклонные.

1. Кривая у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у =b только в том случае, когда существует конечный предел функции f (х) при , и этот предел равен b , т. е. если

2. Кривая у = f (х) имеет вертикальную асимптоту х = а, если при . Для опре­деления вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргу­мента, вблизи которых f (х) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются а1, а2, …, то уравнения вертикальных асимптот будут

х = а1, х =а2…

3. Для определения наклонной асимптоты у = kx + b кривой у = f (х) надо найти числа k и b из формул

(следует отдельно рассматривать случаи ). Наклонные асимптоты у кривой у = f (х) существуют в том и только в том случае, когда эти пределы имеют ко­нечное значение. При определении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.

Пример. Найти асимптоты кривой

Решение. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальную асимптоту находим из условия

2х + 3 = 0 => х = - 3/2, при этом у , когда , у , когда . Определим наклонные асимптоты , уравнение которых имеет вид: у = kx + b

 

 

Так как k и b имеют конечные значения и равны между собой при х и при х , то имеется единственная наклонная асимптота, уравнение которой

 

 

Общее исследование функции

 

 

Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:

 

 

  1. Определение области существования функции.
  2. Выявление вопроса о четности и нечетности функции.
  3. Определение точек разрыва функции.
  4. Определение асимптот графика функции.
  5. Определение интервалов возрастания и убывания функции.
  6. Определение экстремума функции.
  7. Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
  8. Определение точек перегиба.
  9. Нахождение пересечения с осями координат.
  10. Построение графика функции.

 

Пример. Исследуем функцию

D (y) = ( ). Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

Точек разрыва нет.

Вертикальных асимптот нет; , наклонных асимптот нет.

5, 6. . Критические точки х = -2, х = 0.

х ( ) -2 (-2, 0) ( )
Знак + = 0 - +
Поведение функции Возрастает max 3 Убывает min Возрастает

 

7, 8. , при х = 1, не существует при х = 0.

х ( ) ( 0, 1) ( )
Знак - = - = 0 +
Поведение функции Выпукла верх Не является точкой перегиба Выпукла верх Точка перегиба у = 6 Выпукла вниз

 

9. х =0 и х = -5.

10.

 

Задание 1

1. Вычислить определитель матрицы А второго порядка

2. Вычислить определитель матрицы В третьего порядка

3. Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу

4. Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка

Вариант 1                    
A = ( -3 -6 )   B = ( -1 )
  -5
            -2 -4
Вариант 2                    
A = ( )   B = ( -1 -4 -4 )
-9 -3   -4 -1
            -1 -2
Вариант 3                    
A = ( -1 )   B = ( -5 -3 )
-1 -8   -4 -4
            -3 -1
Вариант 4                    
A = ( -10 -7 )   B = ( -1 -2 )
  -3
            -5 -5
Вариант 5                    
A = ( )   B = ( -4 -4 -1 )
-5   -1 -3
            -5
Вариант 6                    
A = ( -8 -1 )   B = ( )
-3   -2 -4
            -4 -3
Вариант 7                    
A = ( -8 )   B = ( -3 -1 )
-9 -8   -2
            -2 -1
                                 

 

Вариант 8                    
A = ( -6 )   B = ( -4 )
-1   -1 -1
            -4 -3
Вариант 9                    
A = ( -2 )   B = ( -2 )
  -5 -4 -1
           
Вариант 10                    
A = ( -4 -9 )   B = ( -1 -5 )
-5 -3   -5
            -2 -4

 

Задание 2

 

1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а

2. Решить методом Крамера систему уравнений Вx = b

3. Решить методом Гаусса систему уравнений Вx = b

Вариант                                  
                  B = ( -3 ) b= ( )
A = ( ) a= ( -5 ) -1 -8
-1 -2 -1 -3
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -4 -3 ) b= ( )
A = ( ) a= ( ) -1 -5
-4 -2 -6 -2 -9
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -4 ) b= ( -5 )
A = ( -4 -1 ) a= ( -1 ) -1 -2
-1 -3 -3 -3 -2 -1
                                     

 

Вариант                                  
                  B = ( -5 -4 ) b= ( )
A = ( -2 -3 ) a= ( -5 ) -2
-4 -16 -3
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -1 -5 ) b= ( )
A = ( -5 ) a= ( ) -2 -3
-4 -5 -4 -3
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -1 -5 ) b= ( )
A = ( ) a= ( ) -3
-1 -9 -4
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -2 -1 ) b= ( -8 )
A = ( -5 ) a= ( -5 ) -3 -4
-5 -4
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -2 ) b= ( )
A = ( -3 -2 ) a= ( -1 ) -4
-4 -5 -1
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -3 -2 ) b= ( -11 )
A = ( -1 -4 ) a= ( ) -4 -5 -14
-1 -1 -5 -10
                                     
Вариант                                  
                  B = ( -3 ) b= ( -5 )
A = ( ) a= ( -14 ) -5 -1
-1 -7 -2 -1
                                     

 

Задание 3.

1. Решить матричным методом систему уравнений Ах = а

2. Решить матричным методом систему уравнений Вx = b

Вариант                                    
                    B = ( -3 ) b= ( )
A = ( -1 ) a= ( )   -2 -12
-3   -2
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -1 ) b= ( )
A = ( -5 -3 ) a= ( )   -2 -4
-2 -5   -1 -13
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -3 -3 ) b= ( -6 )
A = ( -3 -5 ) a= ( )   -1
-6   -4 -5 -3
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -3 -5 ) b= ( )
A = ( -1 ) a= ( -1 )   -1 -2
-5 -5   -2 -2 -5
                                       
Вариант                                    
                    B = ( ) b= ( -5 )
A = ( ) a= ( -3 )   -5 -3 -1
-2 -2   -7
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -3 ) b= ( -6 )
A = ( -2 ) a= ( )   -4 -3
-4 -6   -5
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -3 -2 ) b= ( )
A = ( -4 -4 ) a= ( -4 )   -4 -5 -5
-5   -5 -2 -2
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -4 ) b= ( )
A = ( -2 ) a= ( -21 )   -3
-2 -11   -3 -4
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -3 ) b= ( -15 )
A = ( ) a= ( -4 )   -3 -16
-1   -1 -5
                                       
Вариант                                    
                    B = ( -3 ) b= ( -2 )
A = ( -1 ) a= ( -7 )   -2
-5 -3   -2 -2

 

 

Задание 4.

Вычислить ранг матрицы.

1. , 2. ;

3. 4.

5. 6.

7. 8

9. 10.

 

Задание 5

 

Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х11), В (х22) и точка D (x3,y3)пересечения высот:

а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС.

б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.

в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х4, у4) до сторон треугольника.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.