Времени падения тела с заданной высоты

Промахи

Промахи, как правило, вызываются невнимательностью (например, при измерении диаметра отверстия штангенциркулем часто забывают учесть толщину его ножек). Они могут возникать также вследствие неисправности прибора. От промахов не застрахован никто, однако по мере приобретения экспериментальных навыков вероятность промахов заметно уменьшается.

Систематические погрешности

Систематические погрешности могут возникать по ряду причин, вот некоторые из них.

1. Несоответствие прибора эталону (например, пластмассовые линейки с течением времени обычно укорачиваются на несколько миллиметров, секундомер может иметь неправильный ход - спешить или отставать на несколько секунд в сутки).

2. Неправильное использование прибора (например, перед взвешиванием не установлено равновесие ненагруженных весов).

3. Пренебрежение поправками, которые нужно ввести в результаты измерения для достижения требуемой точности (например, не учтена зависимость температуры кипения воды от атмосферного давления).

Систематические погрешности, обусловленные некоторыми из этих причин, могут быть сведены к минимуму проверкой приборов, их тщательной установкой, анализом необходимых поправок и т.д. Погрешности, вызванные некоторыми причинами могут быть скрыты в течение длительного времени и обычно обнаруживаются при нахождении тех же физических величин принципиально другими методами. Анализ подобного рода систематических погрешностей может в ряде случаев привести к открытию неизвестных ранее явлений природы.

В учебных лабораториях систематические погрешности обычно игно-

рируются и анализ их не производится.

Случайные погрешности

Случайные погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения. Такие причины могут быть объективными (неровности на поверхности измеряемого предмета; дуновение воздуха, ведущее к изменению температуры; скачкообразное изменение напряжения электрической сети и т.п.) и субъективными (разная сила зажима предмета между ножками штангенциркуля, неодинаковое расположение глаза по отношению к шкале прибора, различное запаздывание при включении секундомера и т.п.). Эти причины могут сочетаться в различных комбинациях, вызывая то увеличение, то уменьшение значения измеряемой величины. Поэтому при измерениях одной и той же величины несколько раз получается, как правило, целый ряд значений этой величины, отличающихся от истинного значения случайным образом.

Закономерности, описывающие поведение случайных величин, изучаются теорией вероятностей. Под вероятностьюмы здесь будем подразумевать отношение числа случаев, удовлетворяющих какому-либо условию, к общему числу случае, если общее число случаев очень велико (стремится к бесконечности). Максимальное значение вероятности равно единице (все случаи удовлетворяют заданному условию). При описании случайных погрешностей обычно используются следующие предположения.

1. Погрешности могут принимать непрерывный ряд значений.

2. Большие отклонения измеренных значений от истинного значения измеряемой величины встречаются реже (менее вероятны), чем малые.

3. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.

Эти предположения справедливы не всегда. Опыт, однако, показывает, что все же в подавляющем большинстве случаев они выполняются достаточно хорошо.

Рис. 4

Связь между случайными (DХ_сл) и приборными (DХ_пр) погрешностями установлена в математической статистике и проиллюстрирована (рис.4). Как следует из этого рисунка, полная погрешность будет равна:

(11)

Если < , то << и за ошибку измерения принимают (где С – цена деления прибора) или определяют по классу точности, используя формулу (3).

Наоборот, если > , то приборной погрешностью можно пренебречь, а за погрешность измерений принять .

5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

5.1 Пусть - некоторая случайная величина, принимающая ряд значений: X₁, X₂,…,X_n. Функция , характеризующая вероятность попадания случайной величины X_i в единичный интервал значений, называется плотностью вероятности. Тогда вероятность того, что случайная величина X_i попадает в интервал значений

Вероятность попадания случайной величины в интервал от -∞ до +∞ всегда равна единице:

т.е. такое событие будет достоверным – измеряемую величину всегда можно обнаружить в интервале значений . Функция f(X) в этом случае называется нормируемой.

Рис. 5

Графически функция распределения f(X), подчиняющаяся НЗР, представлена на рис.5 где σ – средняя квадратичная погрешность, определяемая по формуле:

(12)

Причем средняя квадратичная погрешность (12) подбирается так, что при проведении серии измерений из большого числа опытов в 67% случаев абсолютная погрешность ∆X < σ, а в остальных (33%) случаях ∆Χ > σ.

На рис.5 заштрихованная площадь составляет около 67% от всей площади под кривой, т.е. наиболее часто встречаются случайные величины X_i в интервале от (X_в,-σ) до (X_в,+σ) и гораздо реже – за пределами этого интервала (справа и слева).

Как показал анализ, для функции распределения f(X), подчиняющейся НЗР (рис.5), характерны следующие свойства:

а) кривая функции распределения f(X) симметрична относительно прямой X = X_в , т.е. отклонения случайных величин от Х_в вправо и влево равновероятны и встречаются одинаково часто; Х_в – наиболее вероятное значение случайной величины;

б) при Х = Х_в плотность вероятности принимает максимальное значение f_max(X);

в) наиболее вероятное значение Х_в совпадает со средним арифметическим значением , т.е среднее арифметическое значение является наилучшим приближением к истинному значению (поэтому в качестве оценки результатов измерений в физическом эксперименте принимается среднее арифметическое значение );

г) при Х→0 и Х→∞ кривая функции распределения асимптотически приближается к оси абсцисс (f(X)→0).

5.3 Вероятность того, что истинное значение содержится в интервале ,называется доверительной надежностью (α), где σ – средняя квадратичная погрешность, определяемая по формуле (12). Графически надежность α определяется как площадь под кривой распределения в указанном интервале по отношению ко всей площади (рис.5, заштрихованная площадь). Выражается α в частях (десятичной дробью) или в процентах. (α = 0,85 или α = 85%).

Погрешность, определяемая с надежностью α = 0,67, называется стандартной погрешностью (σ_ст).

Таким образом, для характеристики случайной погрешности следует учитывать не только саму величину, но и доверительный интервал, определяемый с надежностью α. Поэтому результат физического эксперимента записывают в виде: , с указанием надежности α.

5.4 Как уже указывалось, средняя квадратичная погрешность σ_ст, определяемая формулой (12), подбирается так, что вероятность того, что результат измерения отличается от истинного не более, чем на σ_ст, равна α=0,67. В этом случае, отношение поэтому за абсолютную погрешность можно принять , при α = 0,67.

В табл.3 приведены значения доверительной надежности α при различных значениях отношения β. Из таблицы видно: вероятность того, что измеренная величина отличается от истинного на величину = const, растет с увеличением b, т.е. с ростом абсолютной погрешности DХ.

Таблица 3

	0,9	1,0	1,5	1,7		2,5	3,0
α	0,63	0,67	0,87	0,91	0,95	0,988	0,998

Анализ табл.3 показывает, что при α = 0,67 коэффициент β =1 и абсолютная погрешность ∆Χ = . При надежности α = 0,95 коэффициент β = 2 и тогда ∆Χ = 2 .

На практике условились считать погрешности грубыми, если . Такие результаты отбрасывают. А значения случайных величин X_i для которых погрешность ∆ Χ< 3σ_ст. оставляют в ряду измеренных. (Например, при ∆Χ = 2 .)

5.5 Данные, приведенные в табл.3, получены при большом числе опытов (n > 30). Для оценки доверительной вероятности α в случае малого числа опытов (n 30) вместо параметра β вводят параметр t_α,n, зависящий от числа опытов n и от надежности α. Этот коэффициент t_α,n называется коэффициентом Стьюдента и определяется по формуле:

(14)

Для заданного числа опытов (n = const) и заданной надежности ( ) коэффициент Стьюдента имеет определенное значение, которое находят из справочной табл.50 (прил. IV). Анализ табл.50 показывает, что с ростом числа опытов n при α = const коэффициент t_α,n уменьшается, а следовательно, уменьшается и абсолютная погрешность ∆Χ_сл. Наоборот, при n = const с увеличением α коэффициент t_α,n растет.

Поэтому выбор высокой надежности не всегда оправдан. На практике, чаще всего, надежность выбирают не более чем 0,95 (α 0,95). Все значения X_i , которые будут отличаться от на величину ∆Χ = 2 (при α = 0,95), будем считать удовлетворительными.

5.6 Выразим абсолютную погрешность ∆Χ из формулы (14)

(15)

Подставив в эту формулу значение σ_ст из (12), получим формулу для расчета случайной погрешности в общем виде:

(16)

Оценив по формуле (16) и сравнив ее с приборной погрешностью ∆Χ_пр, решаем, можно ли за абсолютную погрешность эксперимента принять случайную погрешность (если ∆Χ_сл > ∆Χ_пр) или, наоборот, случайной погрешностью можно пренебречь, а за абсолютную погрешность принять ∆Χ_пр.. Если же и ∆Χ_пр. соизмеримы между собой по величине, то общую (полную) погрешность определяют по формуле (11).

6. МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН. ГИСТОГРАММА

6.1 Пусть в результате эксперимента по измерению случайной величины получен статистический ряд значений: X₁, X₂, …,X_n. Для наглядного представления распределения случайных величин X_i полученный ряд значений записывают в упорядоченном виде по мере возрастания от X_min до X_max (или, наоборот, по мере убывания от X_minдо X_max).

Далее разбивают упорядоченный ряд на некоторое число К интервалов одинаковой ширины . Ширину интервала определяют по формуле:

Рис. 6

Подсчитав число m элементов ряда, попавших в каждый из полученных интервалов. Затем представляют распределение случайных величин графически, откладывая по оси абсцисс случайные величины из упорядоченного ряда с интервалом ∆Χ₀, а по оси ординат число m попаданий элементов в каждый из полученных интервалов (рис.6). Построив прямоугольники со сторонами ∆Χ₀ (ширина) и m (высота), получают ступенчатую «кривую», которая называется гистограммой.

Рис. 7

7. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В ФИЗИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

7.1 При обработке результатов измерений в физическом эксперименте рекомендуется придерживаться следующих правил округления чисел.

Например, если получено значение ∆Χ = 0,238, то после округления получим ∆Χ ≈ 0,3. Другой пример: ∆Χ = 0,0127. После округления получим ∆Χ ≈ 0,013.

б) В окончательном ответе оставляют все верные цифры и одну сомнительную, т.е. окончательный результат округляют до того разряда числа, на который указывает абсолютная погрешность. Ответ следует записывать в следующем виде: (18)

Например, при измерении скорости пули были получены результаты: и ∆ = 16,81 м/с. Округляем абсолютную погрешность до первой значащей цифры (разряд десятков): ∆ »20 м/с (при этом порядок числа не должен меняться). Среднее значение скорости округляем до разряда десятков: ≈ 240 м/с. Результат запишем в виде: м/с.

7.2 Запись результатов в виде (18) означает, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале от ( ) до с доверительной надежностью α. Чтобы истинное значение не «выпало» за пределы этого интервала (ширина интервала равна 2·∆Χ), абсолютную погрешность округляют всегда с избытком, расширяя тем самым границы доверительного интервала.

Кроме того, запись вида (18) позволяет судить о том, в каком разряде числа содержится неточность (сомнительная цифра), и какие цифры являются верными.

7.3 Алгоритм обработки прямых измерений представлен в табл.4.

Таблица 4

7.4 Формулы, связывающие исследуемую величину с измеряемыми, часто содержат постоянные величины (например, g – ускорение свободного падения, R – универсальная газовая постоянная, число π и т.д.). Все физические константы являются приближенными. За абсолютную погрешность физической константы принимается половина последнего разряда числа.

Например, если принять g = 9,8 , то ; если g=9,81 , то . Другой пример, число π = 3,14. Абсолютная погрешность ∆π = 0,005 и т.д.

7.5 В случае косвенных измерений обработку результатов эксперимента можно производить двумя способами.

а) Если исследуемая величина определяется несколько раз при неизменных внешних условиях, то расчет погрешностей можно проводить выше описанным методом – по формуле Стьюдента (табл. 4).

Например, при определении периода колебаний T математического маятника заданной длинны ( = const) проводят опыты по измерению времени (τ), в течении которого маятник совершает несколько колебаний (n = const), и рассчитывают период колебаний по формуле:

(19)

для каждого опыта; а затем находят значение ‹T›. Дальше обработку результатов измерений проводят в соответствии с табл.4.

б) Если же внешние условия меняются в ходе эксперимента (например, изменяется длина маятника ), то проведя соответствующие измерения можно установить зависимость исследуемой величины (в нашем примере это период колебаний) от измеряемой величины (длины маятника). Поэтому среднее значение <T> определить не можем и погрешность следует определять для каждого опыта. При этом рассчитывают сначала относительную погрешность , где Y_i = f(X_i) – функция нескольких переменных; а затем находят абсолютную погрешность .

На практике часто применяют следующий способ получения формулы относительной погрешности (табл.5).

Таблица 5

Пусть Y = f(Xi), где i = 1,2,3,…; Xi – параметры, от которых зависит исследуемая величина Y.

1. Прологарифмировать функцию Y = f(Xi): 2. Полученное выражение продифференцировать по всем параметрам Xi, входящим в формулу, заменяя при этом значки дифференциала «d» на значок конечного приращения «∆» и все знаки «-» на «+» (погрешности вычитаться не могут): 3. Каждое слагаемое возвести в квадрат и из обеих частей извлечь квадратный корень. Формула максимальной относительной погрешности примет вид: Значения ∆Χi (где i = 1,2,…,n) прямых измерений определяют по правилам, изложенным в табл.4. 3. Найти абсолютную погрешность ∆yi = εi∙yi и записать результат в виде: y = yi ± ∆yi

7.6 Рассмотрим пример обработки косвенных измерений периода колебаний математического маятника (табл.6.) при неизменных внешних условиях: = const.

Таблица 6

№ п/п	,м	n	τ , c	T , c	|∆Ti|,c
	1.0		20,16 40,26 60,42	2,016 2,013 2,014	1,7∙10-3 1,3∙10-3 0,3∙10-3	2,89∙10-6 1,69∙10-6 0,09∙10-6
Среднее значение:	2,0143

Рассчитаем случайную абсолютную погрешность по формуле Стьюдента (16).

где t_α,n = t_0,95;3 = 4,3 (табл.50, прил.IV)

Учитывая расчеты, приведенные в табл.6, найдем значение абсолютной погрешности определения периода колебаний.

c.

После округления (до первой значащей цифры с избытком), получим ∆T ≈ 0,004 c. Затем, округлив среднее значение до разряда тысячных долей, запишем результат в виде: T = (2,014 + 0,004) c. (с надежностью

α = 0,95). Рассчитаем относительную погрешность:

Рассмотрим теперь пример обработки результатов косвенных измерений, когда длина маятника в процессе эксперимента изменяется (табл.7).

Таблица 7

№ п/п	n	, м	τ, c	T, c
		0,6 0,8 1,0	15,53 17,93 20,05	1,553 1,793 2,005	0,77 0,89 1,0

Рис. 8

Для выяснения характера этой зависимости построим график в координатах «T - » (рис.8), который показывает, что зависимость линейная, т.е. период колебаний пропорционален , что соответствует теоретической формуле:

. (20)

Поэтому при обработке результатов измерений среднее значение определить нельзя и погрешность следует оценивать согласно методике, изложенной в п.7.4. Следуя предложенному алгоритму (табл.5), прологарифмируем выражение (20):

Затем полученное выражение дифференцируем. Получаем соотношение:

Заменив значок дифференциала «d» на значок конечного приращения «∆» и знаки «-» на «+», получим формулу:

Формула максимальной относительной погрешности будет иметь вид:

,

где ∆π = 0,005 (п. 7.3); ∆g = 0,05 м/с² (если g = 9,8 м/с²) и ∆ – принимается равной половине цены деления масштабной линейки (если , то ∆ = 0,5 см).

Рассчитаем относительную погрешность ε_i для каждого опыта (табл.8).

Сравнивая погрешности между собой, видим, все три погрешности совпадают с точностью до тысячных долей, т.е. ε₁ ≈ ε₂ ≈ ε₃ ≈ 0,026. Поэтому нет смысла рассчитывать ε_i для каждого опыта, а достаточно определить ε для одного из опытов (обычно, из средней части таблицы экспериментальных данных).

Абсолютные погрешности численно могут отличаться друг от друга, но по порядку числа они получаются одинаковыми. В нашем примере:

Результаты измерений запишем в виде:

T₁ = (1,55 ± 0,05) с; T₂ = (1,79 ± 0,05) с; Т₃ = (2,00 ± 0,06) с.

Таким образом, при обработке результатов косвенных измерений при изменяющихся внешних условиях эксперимента расчет погрешности достаточно проводить для одного из опытов.

8. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ОПЫТЕ

Рис. 9

1. Графики служат простой иллюстрацией изучаемой зависимости (рис.9). По графику можно качественно (а иногда и количественно) установить характер зависимости: сила тока пропорциональна напряжению на участке цепи.

2. Графики можно использовать для нахождения численного значения исследуемой величины. Например, имея в распоряжении график, изображающий зависимость тока от напряжения на однородном участке (рис.9), можно рассчитать сопротивление проводника, исходя из закона Ома.

(21)

Для этого на графике выбирают произвольно две точки 1 и 2 и опускают перпендикуляры из этих точек на координатные оси. Затем в масштабе графика находят ∆I, ∆U и рассчитывают сопротивление R.

Например, как видно из рис.9, ∆U = 1,0 В; ∆I ≈ 2 мА = 2∙10^-3 А. Тогда сопротивление будет равно

.

Рис. 10

Графики следует строить на миллиметровой бумаге с соблюдением ГОСТа.

1. Построение графиков начинают с выбора координатных осей и их обозначений: значения измеряемой величины Х откладывают по оси абсцисс, а значения исследуемой величины, находящейся в функциональной зависимости от Х, т.е. Y= Y(Х), вдоль оси ординат. В качестве примера на рис.13 представлен график зависимости длины стержня от температуры: = (t).
2. В обозначение осей выносят не только величины и t, но и единицы их измерения (рис.11а). Иногда для удобства в обозначение осей выносят и общий множитель, определяющий порядок числа (рис.11а). На рис.11б некоторые из указанных требований не соблюдены.

3. Рис. 11

   При выборе масштаба необходимо руководствоваться тем, чтобы масштаб был удобным: 10 мм на миллиметровке должно быть кратно числам 2, 5, 10, 100, но ни в коем случае 3, 7, 9, 11 и т.д. Во вторых, масштаб должен быть выбран так, чтобы график занимал всю полезную площадь чертежа (сравни 11а и 11б), т.е. в начало координат не обязательно помещать «0».

4. Рис. 12

   При нанесении экспериментальных точек на чертеж используют условные значки: точки, крестики, кружочки и т.д. Если на одном чертеже наносят несколько графиков, следует для каждого графика выбирать различные значки для нанесения точек, при этом должна быть расшифровка какие из них относятся к какому графику (рис.12а).

При построении графиков не следует его загромождать вспомогательными линиями, лишними цифрами и т.п. На координатные оси следует наносить только те числа, которые позволяют:

1. определить масштаб. Например, на рис.12а легко определяется масштаб (вдоль оси абсцисс он составляет 0,2 м^1/2, а по оси ординат 0,2 с), тогда, как на другом графике (рис.12б) это сделать практически нельзя. Во-первых, последний график загроможден выносными линиями, на нем не указан масштаб, а просто нанесены числа из табл.8 экспериментальных данных.

2. При построении графиков в физике используют метод сглаживания зависимости. В силу возникающих погрешностей экспериментальные данные ложатся на чертеж с некоторым разбросом. Поэтому линию на графике проводят плавную, следуя ходу экспериментальных точек (рис.13а). На рис.13б тот же график построен не верно – путем соединения всех точек между собой.

3.

Рис. 13

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Рис. 14

1. Что значит измерить физическую величину? В чем отличие метода от принципа измерения?

2. Какие измерения называются прямыми и косвенными? Приведите примеры. Существует ли четкая грань между прямыми и косвенными измерениями? Приведите примеры.

3. Какие погрешности встречаются в физическом эксперименте? Каковы причины их возникновения? Какие погрешности называются «промахами» и как от них избавиться?

4. Каковы причины возникновения приборной погрешности? Что принимают за приборную погрешность?

5. Какие погрешности относятся к классу систематических погрешностей и как их можно устранить? Приведите примеры систематических погрешностей (методических и инструментальных).

6. Какие погрешности относятся к случайным? Как можно их уменьшить?

7. Как производится математическая обработка результатов эксперимента при малом числе опытов (n ≤ 30)?

8. Какой вид имеет формула Стьюдента для нахождения случайной погрешности? При каком условии функция распределения Гаусса переходит в формулу Стьюдента?

9. Что называется доверительным интервалом? Как его определить на практике? Что означает запись вида: ?

10. Что принимают за ошибку прямых измерений, если разброс в значениях отсутствует или очень мал?

11. Как оценивается абсолютная погрешность физических и табличных постоянных?

12. На что указывает абсолютная погрешность и как следует ее округлять? Почему рекомендуется всегда округлять ∆X с избытком? Что называется относительной погрешностью?

13. Как округляют окончательный результат? В каком виде следует представлять окончательный результат?

14. Как производится обработка косвенных измерений? Приведите примеры косвенных измерений при неизменных внешних условиях и в случае меняющихся внешних условий.

15. Какие цели преследует построение графиков в физическом практикуме? Поясните примерами.

16. Какие основные правила следует соблюдать при построении графиков? Проиллюстрируйте примерами.

17. При проведении эксперимента по определению плотности вещества были получены результаты: масса тела m = (5,43 ± 0,05) г и его объем V = (502 ± 6) мм³. Какая из этих величин измерена с более высокой точностью? Как вы это определили?

18. Запишите правильно результаты эксперимента и найдите относительную погрешность для каждого случая? Укажите, какая из приведенных величин измерена с наибольшей точностью.

а) g = (9,798 ± 0,032) м/с²; г) L_Z = (72,6 ± 5,3) дБ;

б) u = (227,6 ± 18,7) м/с; д) u_зв = (342,62 ± 1,23) м/с;

в) I = (0,03264 ± 0,00023) кг∙м²; е) R = (811,6 ± 24,5) Ом.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Цель работы:

1) изучение закона распределения случайных величин;

2) математическая обработка результатов измерений в физическом эксперименте.

Оборудование: а) счетчик Гейгера, секундомер (задание 1); б) набор резисторов, омметр (задание 2)

Результат измерения физических величин зависит от многих случайных факторов, влияние которых заранее учесть нельзя. Поэтому значения, полученные в физическом эксперименте, являются случайными. Например, счетчик Гейгера регистрирует космические частицы (естественный фон), случайно пролетевшие через счетчик. Причем из опыта в опыт число частиц за одинаковый промежуток времени будет различным.