Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Волновое уравнение и его решение.

Уравнение, позволяющее определить смещение (х,t) любой точки среды с координатой х в любой момент времени t называется уравнением волны.

Например, уравнение плоской волны, т.е. волны, распространяющейся в одном направлении, например в направлении оси х, имеет вид

(28-1)

,

где (х,t) – смещение точек через время t, за которое волна распространяется на расстояние х = t ( - скорость распространения волны).

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны

 

Введем величину , которая называется волновым числом.

  Вектор показывает направление распространения волны в данной точке волнового фронта (рис.28.1).   Перепишем выражение (28-1) в виде . Преобразуем отношение .   Тогда уравнение волны запишется в виде   . (28-2)
Если умножить волновое число на единичный вектор направления распространения волны , то получится вектор, называемый волновым вектором

 

 


На рис.28.2 представлено графическое изображение волны

   
Т
Т
х
t
t = const
x = const
а)
б)
    а) Зависимость смещения точек среды от координаты при фиксированном времени.   б) Зависимость смещения точек среды от времени при фиксированной координате.
Рис.28.2

 


Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением

 

 

Гармоническая волна- волна при которой каждая точка колеблющейся среды или поля в каждой точке пространства совершает гармонические колебания.



4.

5.

6. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле.

В законе электромагнитной индукции (ЭМИ) ℇ = -dФ/dt ЭДС можно представить по определению как циркуляцию поля сторонних сил

ℇ = (см. часть 2, лекция №20), в данном случае (ЭМИ) сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами, они также не могут быть магнитными силами, по тому, что такие силы работу над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем, тогда ЭДС

= Магнитный поток по определению Ф = . Подставляя в закон ЭМИ получим

(30-4)

 

Это первое уравнение Максвелла.

 
S
 
Интеграл в правой части берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур (рис. 30.3).

(Поскольку в общем случае может быть

Рис. 30.3
функцией и координат, то берем частную

производную )

Смысл первого уравнения соответствует

максвелловской трактовке явления ЭМИ, то

есть, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла

(30-5)

 

Это уравнение выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля не имеют источника (нет «магнитных зарядов») и всегда замкнуты и, что оно имеет вихревой характер, поток вектора магнитной индукции равен нулю.

Третье уравнение Максвелла


Это обобщенный закон полного тока (см. часть 3, лекция №24), который подчеркивает тот факт, что магнитное поле может создаваться не только токами проводимости ( ), но и перемещенным электрическим полем («ток смещения» ).

Четвертая теорема Максвелла (см. часть 3, лекция №18).


(30-7)

 

Физически эта теорема подчеркивает тот факт, что электрическое поле может создаваться зарядами, то есть источниками силовых линий электрического поля являются электрические заряды.

Уравнения (30-3,5,6,7) представляют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла подчеркивают тот факт, что электрическое поле может создаваться как зарядами, так и переменным магнитным полем, а магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. При этом магнитное поле всегда носит вихревой характер, о чем говорит второе уравнение Максвелла. Электрическое поле, создаваемое зарядами и переменным магнитным полем носят различный характер.Силовые линии в первом случае начинаются и кончаются на зарядах (четвертое уравнение Максвелла). А электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем не имеет источников и носит вихревой характер, также как магнитное поле (первое уравнение Максвелла).

В вакууме, где нет зарядов и токов, магнитное поле может создаваться только переменным электрическим полем, а электрическое поле только переменным магнитным полем.

Эту совокупность непрерывно изменяющихся и порождающих друг друга электрического и магнитного полей Максвелл назвал электромагнитным полем.

Кроме четырех рассмотренных уравнений в полную систему уравнений Максвелла входят еще три уравнения, называемых материальными. В них входят характеристики вещества («материи»), такие как диэлектрическая и магнитная проницаемости ℰ и µ, проводимость σ.

ℰℰ


Связь и (лекция №18, часть 3)

μμ


Связь и (лекция №23, часть 3)

σ


Закон Ома в локальной форме (лекция №20, часть 3)

 

Уравнения Максвелла (30-4) ÷ (30-7) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого используем теоремы Стокса

(30-8)

 

и Остроградского – Гаусса:

 

(30-9)

 

где - некоторый вектор в нашем случае: (О функции rot см. примечание к п.2).

Первое уравнение Максвелла

С другой стороны, используя теорему Стокса, получим

Поскольку равны левые части, равны и правые

откуда следует


(30-10)

 

Второе уравнение Максвелла

С другой стороны из теоремы Остроградского – Гаусса

получаем (30-11)

 

Третье уравнение запишем, предварительно выразив токи проводимости через плотность токов проводимости

,

тогда

с другой стороны

получим


(30-12)

 

Аналогичный подход для четвертого уравнения дает систему уравнений

,

(в последнем уравнении мы заменили - объемная плотность заряда) из которой следует:

(30-13)

 

Сведем четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, а также три материальных уравнения в таблицу:

Уравнения Максвелла

Интегральная форма Дифференциальная форма  
   

ℰℰ ; μμ ; σ

Отметим, что физический смысл уравнений в дифференциальной форме такой же, что и соответствующих уравнений в интегральной форме. Интегрируя их, можно получить , , , .

Примечание.Вихревое электрическое поле характеризуется особой векторной величиной, называемой ротором напряженности поля: . Вектор ротора приложен в центре поля перпендикулярно плоскости его силовых линий (в случае круговых линий – в центре окружностей) и направлен относительно них согласно правилу правого винта.

По определению

.

Наглядное представление о роторе вектора можно получить, представив себе небольшую легкую турбинку, помещенную в данную точку текущей жидкости.

В тех местах, где ротор скорости жидкости отличен от нуля, турбина будет вращаться (рис. 30.4), причем с тем большей скоростью, чем больше проекция ротора на ось турбинки. (Аналогично определяется )  

 


 

Рис. 30.4

 


7. где - скорость распространения электромагнитной волны.

Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве называется электромагнитной волной.

Подставим ℰ = 8,85 μ = в выражение для скорости u. Если среда – вакуум, то ℰ = 1, μ = 1, тогда получим u = ,

то есть скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света в вакууме. Это обстоятельство приводит к выводу, что свет - электромагнитная волна.

Решения уравнений (30-14)

Выражения (30-15) – уравнения электромагнитной волны. Их графическое

 

Х
У
Z
Рис. 30.5
представление показано на рис. 30.5. Электромагнитная волна является поперечной волной, то есть колебания векторов и происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Вектора и достигают максимума одновременно, но колеблются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

 


Как показывает опыт, электромагнитные волны проходят через диэлектрики и отражаются от металлов. Для них свойственны такие явления как интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия (рассмотрим далее в разделе «Оптика»).

 

 

Физика.

5 раздел – оптика!

1. Принцип Гюйгенса устанавливает способ построения фронта волны в момент + по известному положению в момент (рис. 31.1).

Каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром

   
Рис. 31.1
вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Принцип Гюйгенса позволяет достаточно просто в ряде случаев построить волновые фронты и определить направление распространения волн при отражении, преломлении и т.п. (Мы будем использовать этот принцип при изучении темы «Поляризация света».)

 


Законы отражения и преломления.

Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, называется лучами.В изотропных средах направление распространения световой энергии совпадает с направлением волнового вектора . (Напомним, что вектор . равный по модулю волновому числу = 2πۤ/λ и имеющий направление по нормали к волновой поверхности)

Рис. 31.2
 
ϑ˝
ϑ΄
ϑ
При падении плоской световой волны ( ) на на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков (рис. 31.2) кроме

распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломленной волны ( ) возникает плоская отраженная волна, распространяющаяся в первом диэлектрике ( ); - единичный вектор нормали к поверхности раздела. Плоскость, в которой лежат вектора и называется

 


плоскостью падения волны. Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. На рис. 31.2 ϑ, ϑ΄и ϑ˝ собственные углы падения, отражения и преломления световой волны.

= с / υ
Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости υ в некоторой среде называется абсолютным показателем преломления этой среды и обозначается .

 

 


 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.