Визначення вартості грошей у часі

Відомо, що гроші — це особливий товар, який можна обмінювати на будь-які інші товари без обмежень. Крім того, гроші — це еквівалент вартості всіх інших товарів, оскільки саме за допомогою грошей у вигляді фіксованої їх кількості вимірюється вартість будь-якого товару.

Однак самі гроші мають вартість. Причому грошова одиниця, яка є сьогодні, і грошова одиниця, яка очікується до одержання через деякий час, не є рівноцінними: мати певну суму грошей сьогодні завжди краще, ніж мати її завтра (принцип діє незалежно від зміни загального рівня цін). Це пояснюється впливом трьох основних факторів (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Фактори, що впливають на зміну
вартості грошей у часі

Інфляція —явище, властиве практично будь-якій економіці, наслідком якого є знецінення грошей. Якщо уявити, що підприємство має вільні грошові кошти у розмірі 300 000 грн, а темп інфляції на рік становить 20 %, то вже в наступному році, якщо гроші не використовувалися, а зберігалися, їх купівельна спромож­ність знизиться і реальна вартість дорівнюватиме 240 000 грн.

Ризикнеодержання очікуваної суми також є достатньо очевид­ною причиною. Будь-який договір, згідно з яким очікується надходження грошових коштів у майбутньому, має ненульову ймовірність бути невиконаним узагалі або виконаним частково.

Оборот коштів — фактор, який полягає в тому, що кошти, як і будь-який актив, повинні з часом генерувати дохід за ставкою, яка задовольняє власника. Тому сума, очікувана до одержання через деякий час, має перевищувати початкову суму, якою володіє інвестор у момент прийняття рішення, на величину можливого доходу.

У будь-якому разі вартість однієї й тієї самої суми грошей сьогодні завжди є більшою, ніж завтра, оскільки вимірювання вар­тості грошей ґрунтується на можливості їх використання протягом певного періоду часу.

Саме на основі розрахунку вартості використання грошей протягом певного періоду часу ґрунтуються концепції майбутньої та теперішньої їх вартості, алгоритм визначення якої полягає в такому.

Найпростішим видом фінансової угоди є одноразове надання в борг певної суми PV з умовою, що через деякий час t буде повернена більша сума FV. Як відомо, результативність подібної угоди може бути охарактеризована двояко: або за допомогою абсолютного показника — FV – PV, або розрахунком певного відносного показника. Абсолютні показники частіше за все не підходять для подібної оцінки у зв’язку з їх незрівнянністю в просторово-часовому аспекті. Тому використовують спеціальний коефіцієнт — ставку. Цей показник розраховують відношенням приросту вихідної суми до базисної величини, якою можуть бути PV або FV. Отже, ставку обчислюють за формулою

.

У фінансових розрахунках такий показник має назву «відсоткова ставка», «відсоток», «ставка відсотку», «норма прибутку»; він являє собою виражене у відсотках відношення суми нарахованого за певний інтервал доходу до суми, що є на початок даного інтервалу.

.

Визначену так відсоткову ставку називають обліковою, або дисконтом. Цей показник розраховують як відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал, до величини нарощеної суми, одержаної по закінченні цього інтервалу.

Очевидно, що обидві ставки взаємозв’язані, тобто знаючи один показник, можна розрахувати інший:

, або .

У будь-якій простій фінансовій угоді завжди присутні три величини, дві з яких задані, а одна є шуканою.

Процес, в якому задані вихідна сума і відсоткова ставка, у фінансових розрахунках має назву нарощення. Процес, в якому задані очікувана в майбутньому до отримання сума і коефіцієнт дисконтування, називають процесом дисконтування. У першому випадку йдеться про рух грошових потоків від сучасного до майбутнього, у другому — про рух від майбутнього до сучасного (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Логіка фінансових операцій

Позикові операції, що є основою комерційних розрахунків, мають давню історію. Саме в цих операціях виявляється насамперед необхідність обліку часової цінності грошей.

Надаючи свої грошові кошти в борг, їх власник отримує певний дохід у вигляді відсотків, які нараховують по деякому алгоритму протягом певного проміжку часу. Оскільки стандартним часовим інтервалом у фінансових операціях є один рік, найбільш поширеним варіантом є встановлення відсоткової ставки у вигляді річної ставки, яка передбачає одноразове нарахування відсотків після закінчення року з моменту отримання позики.

Відомі дві основні схеми нарахування відсотків: проста і складна.

Схема нарахування простих відсотків припускає незмінність бази, з якої відбувається нарахування. Якщо на початку року інвестор розміщує на рахунку в банку суму Р під відсоток r, то через n років вкладник одержить:

.

Визначити нарощену суму з вихідної суми в 4000 грн при розміщенні її в банку на умовах нарахування простих відсотків, якщо річна ставка — 13%, а період нарахування — 15 років.

Нарощена сума становитиме:

4000 · (1 + 15 · 0,13) = 11 800 грн.

Якщо простий відсоток нараховують протягом періоду, який менший за рік, то попередня формула трансформується в таку:

.

Підприємству в кредит на п’ять місяців з 01.02. ц. з. за ставкою 18 % річних надано 125 000 грн, що нараховуються за схемою простих відсот­ків. Необхідно визначити суму кредиту до погашення.

Сума кредиту становитиме:

грн.

При нарахуванні складних відсотківчерговий річний дохід визначають не з вихідної величини інвестованого капіталу, а із загальної суми, яка включає також раніше нараховані, але неза-
требувані інвестором відсотки. У цьому разі відбувається капіталізація відсотків у міру їх нарахування.

Відповідно до ідеології нарахування складних відсотків у кінці першого року розмір інвестованого капіталу дорівнюватиме: ; у кінці другого: ; у кінці n-го року: .

На внесок у банк у розмірі 8500 грн строком на шість років нараховується 15 % річних за схемою складних відсотків. Яка сума буде на рахунку в кінці означеного періоду, якщо нарахування відсотків здійснюється щокварталу?

Розрахунок буде таким:

грн.

Використання в розрахунках складних відсотків у разі багаторазового його нарахування більш логічно, оскільки в цьому випадку капітал, що генерує доходи, постійно зростає. При застосуванні простого відсотка доходи в міру їх нарахування доцільно знімати для споживання або використання в інших інвестиційних проектах чи поточній діяльності.

Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансових розрахунках, тому для зручності користування значення множника FM₁(r, n), що називається мультиплікатором і забезпечує нарощення вартості, табульовані для різних значень r і n. Тоді формула алгоритму нарощення за схемою складних відсот­ків матиме такий вигляд:

,

де — мультиплікатор

Економічний зміст множника FM₁(r, n) полягає в тому, що він показує, чому буде дорівнювати одна грошова одиниця через n періодів при заданій відсотковій ставці r.

У практичних розрахунках для наочної та швидкої оцінки ефективності запропонованої ставки нарощення при реалізації схеми складних відсотків користуються приблизним розрахунком часу, необхідного для подвоєння інвестиційної суми, відомого як «правило 72-х». Це правило передбачає, що якщо r — відсоткова ставка, то k = 72/r являє собою кількість періодів, за яке вихідна сума збільшиться приблизно вдвічі.

Таке правило добре спрацьовує для невеликих значень r (до 20 %). Так, якщо річна ставка r = 12 %, то k = 72 / 12 = 6.

Оцінюючи доцільність фінансових вкладень у той чи інший вид бізнесу, виходять з того, що визначають прибутковість цих вкладень. Завдання зводиться до того, щоб порівняти інвестиції, які підприємець має зробити сьогодні, із грошових надходжень, які він отримає в майбутньому. Тобто виникає необхідність порів­няння сум грошей у різні моменти часу. Для цього їх приводять до одного часового знаменника — до теперішнього часу.

Основна ідея цієї процедури полягає в тому, щоб оцінити майбутні грошові надходження з позиції поточного моменту, тобто визначити величину суми Р, яка в майбутньому має становити задану величину Р_n. У цьому випадку Р буде відповідати поточній (теперішній, приведеній) вартості Р_n.

Теперішня вартість — грошова вартість майбутніх доходів на теперішній час. Розрахунки теперішньої вартості здійснюють за допомогою дисконтування.

Дисконтування — це зведення економічних показників різних років до порівняльного в часі виду. Дисконтування здійснюють за допомогою формули

,

де — майбутня вартість; — поточна вартість; — коефіцієнт дисконтування.

Значення коефіцієнта дисконтування табульовані, а його економічний зміст полягає в тому, що він відображує теперішню ціну однієї грошової одиниці майбутнього, тобто чому з позиції поточного моменту дорівнюватиме одна грошова одиниця, що циркулює у сфері бізнесу n періодів з моменту розрахунку при заданій відсотковій ставці r та частоті нарахування відсотків.

Визначити поточну вартість облігації з нульовим купоном номіналь­ною вартістю 5000 грн і строком погашення 12 років, якщо прийнятна норма прибутку становить 14 %.

грн,

або

грн.

Одним із основних елементів фінансового аналізу є оцінка грошового потоку С₁, С₂, ..., С_n, що генерується протягом низки часових періодів у результаті реалізації будь-якого проекту. Елементи потоку С_n можуть бути або незалежними, або пов’язаними між собою певним алгоритмом. Часові періоди найчастіше передбачаються однаковими. Крім того, для простоти викладення матеріалу передбачено, що елементи грошового потоку є одно-
спрямованими, тобто немає чергування відтоку і притоку грошових коштів. Вважають, що надходження, які генеруються в межах одного часового періоду, мають місце або на його початку, або в кінці. У першому випадку потік називають пренумерандо, у другому — постнумерандо.

Крім того, слід знати, що оцінка грошового потоку може виконуватися в межах вирішення двох завдань:

а) прямого, коли проводиться оцінка з позиції майбутнього (реалізується схема нарощення);

б) зворотного, коли проводиться оцінка з позиції сучасного (реалізується схема дисконтування).

Перш ніж розглянути методику оцінки грошових потоків пост­нумерандо і пренумерандо з позиції теперішнього та майбутнього, слід зауважити, що ключовим моментом у названих схемах є передумова про те, що аналіз здійснюється з позиції такого інвестора, який не накопичує отримані грошові кошти, а негайно інвес­тує їх з метою отримання додаткового доходу.

Розглянемо найбільш поширену ситуацію, коли грошові надходження по роках змінюються. Нехай С₁, С₂, ..., С_n — грошовий потік; r — коефіцієнт дисконтування. Необхідно визначити вартість даного грошового потоку з позиції майбутнього й сучасного.

Для прямого завдання майбутню вартість грошового потоку пренумерандо S_pre розраховують за формулою

.

Якщо оцінюється потік постнумерандо, то майбутню його вар­тість визначають як суму нарощених надходжень за формулою:

.

Зворотне завдання, яке передбачає оцінку з позиції поточного моменту, для грошового потоку постнумерандо виконують за допомогою формули

.

Наведена вартість потоку пренумерандо в загальному виді може бути розрахована за формулою

.

Потік, в якому грошові надходження в кожному періоді однакові за величиною, називають ануїтетом. Як і в загальному випадку, виділяють два типи ануїтетів: постнумерандо і пренумерандо.

Прикладом ануїтета постнумерандо можуть слугувати рент­ні платежі, що регулярно надходять за користування земельною ділянкою, зданою в оренду, якщо договором передбачена регулярна оплата оренди по закінченні чергового періоду. Ануїтетом пренумерандо може виступати, наприклад, схема періодичних грошових внесків на банківський рахунок на початку кожного місяця з метою накопичення достатньої суми для великої купівлі.

Пряме завдання оцінки ануїтета при заданих величинах регулярного надходження Р і відсотковій ставці r передбачає оцінку майбутньої вартості, і для ануїтета постнумерандо вирішується за допомогою формули:

.

Економічний зміст мультиплікатора

.

полягає в тому, що він показує, чому дорівнюватиме сумарна величина ануїтета в одну грошову одиницю до кінця строку його дії. Передбачається, що здійснюється лише нарахування грошових сум, а їх вилучення може бути зроблено по закінченні строку дії ануїтетів.

Відповідна розрахункова формула для ануїтета пренумерандо має вигляд

.

Загальне ставлення зворотного завдання оцінки ануїтета пост­нумерандо також достатньо наочне. У цьому разі здійснюється оцінка майбутніх грошових надходжень з позиції поточного моменту, під яким у даному випадку розуміють момент часу, з якого починають відраховуватися однакові часові інтервали, що входять до ануїтета.

Оцінку поточної вартості ануїтета постнумерандо розраховують за формулою:

.

Економічний зміст коефіцієнта дисконтування

полягає в тому, що він показує, чому дорівнює з позиції поточного моменту величина ануїтета з регулярними грошовими надходженнями в розмірі однієї грошової одиниці, яке продовжується n рівних періодів із заданою відсотковою ставкою r.

Відповідна розрахункова формула для ануїтета пренумерандо така:

.

Література