МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ
Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию от оси до наиболее удаленной точки сечения
. (13)
Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения
. (14)
В качестве полюса принимается центр тяжести поперечного сечения стержня.
Рис. 15
Пример 7.Чему равно значение для прямоугольника, представленного на рис. 15, а.
Ответ: .
Приведем осевые моменты сопротивления (рис. 15) для простейших сечений ( и — центральные моменты инерции сечений).
Для прямоугольника(рис. 17, а):
;
.
Длятреугольника(рис. 15, б):
- для нижних волокон;
- для верхних волокон.
Аналогично можно вычислить моменты сопротивления относительно оси левых и правых волокон и .
Для круга (рис. 15, в):
.
Дляполукруга(рис. 15, г):
-для нижних волокон;
- для верхних волокон;
.
Для трубчатого сечения (рис. 15,д):
.
Приведем полярные моменты сопротивления.
Для круга (рис. 15,в)
.
Для трубчатого сечения (рис. 15, д)
.
5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле
, (15)
где М— изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении,
у — расстояние от рассматриваемой точки до главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента;
— главный центральный момент инерции сечения.
Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в данном поперечном сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам:
, (16)
где и — расстояния от главной центральной оси Xдо наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.
Для балок из пластичных материалов, когда [ ]=[ ]=[ ] [ ], [ ] — допускаемые напряжения для материала балки, соответственно на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси.
В этом случае условие прочности примет вид
, (17)
где — момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно главной центральной оси; (h — высота сечения); — наибольший по абсолютному значению изгибающий момент; — допускаемое напряжение материала на изгиб.
Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала (или при наименьшей площади поперечного сечения) получается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности, распределять сечение подальше от главной центральной оси.
Рис. 16
Например, двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного поперечного сечения той же площади, сделанная из того же материала (рис. 16).
Пример 12. Указать, какая форма поперечного сечения балки является более рациональной (рис. 17). За единицу принять вес двутавровой балки (М= 10 кНм, = 100 МПа).
Рис. 17
Для сравнения рациональности различных форм поперечных сечений приведем табл. 3, в которой показана относительная затрата материала для брусьев, обладающих одинаковой прочностью при изгибе (имеющих равные моменты сопротивления).
Ответ: Двутавр.
Таблица 3
Формы и размеры сечения
| Отношение веса балки
данного сечения к
весу двутавровой
балки
|
|
|
|
2,01
|
|
2,78
|
|
3,58
|
|
3,89
|
Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения и остается неизменной.
Пример 8.Какое положение сечения является более выгодным (рис. 28)?
Рис. 18
Для бруса двутаврового сечения № 20a, расположенного, как показано на рис. 20, а, допускаемая нагрузка в 7,5 раза больше, чем для того же бруса, но повернутого на 90° (рис. 18, б).Следовательно, сечение надо располагать так, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален. Более кратко это можно сформулировать так: следует стремиться, чтобы изгиб бруса проходил в плоскости его наибольшей жесткости.
Ответ:рис. 18, а.
Пример 9.Определить, как выгоднее расположить балку с квадратным поперечным сечением при изгибе (рис. 19):
Рис. 19
1) так, чтобы плоскость момента была параллельна сторонам квадрата (рис. 19, а), или
2) так, чтобы она совпадала с его диагональю (рис. 19, б).
Осевые моменты инерции относительно осей Xв формуле для напряжений (15) в случаях 1) и 2) равны между собой, но величины для случая 2) больше. Выгоднее расположить балку так, чтобы плоскость момента была параллельна сторонам квадрата, что снимает напряжение на 40%.
Ответ:1) рис. 19, а.
В большинстве случаев с ростом момента инерции сечения возрастает и его момент сопротивления, но возможны и исключения, когда нерациональное увеличение момента инерции приводит к уменьшению момента сопротивления, т. е. снижению прочности бруса.
Пример10.У какого поперечного сечения, представленного на рис. 20, момент сопротивления наибольший?
Рис. 20
У сечения, изображенного на рис. 20, а момент сопротивления наибольший. Приваренные к двутавру полосы (рис. 20, б), не усиливают, а ослабляют балку, так как высота сечения возрастает ощутимее, чем его момент инерции, и в результате момент сопротивления снижается.
Ответ:рис. 20, а.
Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, расчетные формулы для подбора сечения имеют вид:
, (18)
где и — наибольшие по абсолютному значению изгибающиё моменты в опасных сечениях соответственно для растянутых или сжатых волокон.
Рис. 21
Для балок из хрупких материалов типа чугуна ( ), следует применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, например: тавровое, несимметричное двутавровое, П-образное (рис. 21). При этом целесообразно располагать сечение таким образом, чтобы максимальные растягивающие и максимальные сжимающие напряжения в опасных сечениях балки были одновременно равны соответствующим допускаемым напряжениям.
Пример 11.Как рациональнее расположить чугунную балку, представленную на рис. 22?
Рис. 22 Рис. 23
Ответ:рис. 22, а.
Во всех предыдущих случаях нагрузка действовала на балку только в одном направлении, и форма поперечного сечения балки оптимизировалась, исходя именно из этого условия. В некоторых инженерных и в большинстве естественных объектов нагрузка может действовать в различных направлениях. Приблизительно так распределяются нагрузки в фонарном столбе, ножке стула, бамбуке или кости ноги. В этих случаях надежнее ведут себя круглые полые трубы (рис. 23).
Рис. 24
Однако существуют и другие способы увеличения прочности конструкции. Это предварительное напряжение. Рассмотрим дерево, которое подвергается изгибающим нагрузкам, вызванным давлением ветра. При сжатии древесина значительно хуже работает, чем при растяжении. Когда напряжение сжатия достигает 30 МН/м, дерево начинает ломаться. И только недавно стало известно, что ствол дерева оказывается предварительно напряженным. Каким-то образом дерево растет так, что внешние слои древесины обычно растянуты (примерно до 15 МН/м2), в то время как внутренние сжаты. Примерное распределение предварительных напряжений в сечении ствола показано на рис. 24, б, напряжений только от изгиба — на рис. 24, а и суммарных напряжений — на рис. 24, в (на рис. 24: Р — растянуты волокна, С — сжаты волокна). Дерево уменьшает наибольшую величину сжимающего напряжения примерно вдвое, правда, при этом возрастает максимальное растягивающее напряжение, но дерево вполне с ним может справиться.
Пример 12.Какие предварительные напряжения надо вызвать в бетоне, чтобы при изгибе на его поверхности не возникало трещин, если
Ответ:Сжимающие.
Бетон плохо работает на растяжение, поэтому бетон армируют стальными стержнями, так, что он оказывается сжатым, что существенно повышает его прочность. Необходимо прикладывать большую нагрузку, чтобы напряжения вблизи одной из сторон сменились растягивающими и произошло растрескивание бетона.
Обязательные вопросы
1. Для чего необходимы геометрические характеристики плоских сечений?
2. Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений.
3. Что такое статический момент плоской фигуры? Какова его размерность?
4. Какими свойствами обладает статический момент?
5. Как определяется положение центра тяжести сечения?
6. Для каких сечений положение главных осей можно указать
7. без вычислений?
8. Что такое момент сопротивления сечения?
9. Какие оси называются центральными осями?
10. Какие оси и какие моменты инерции называются главными?
11. Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей?
|