Пиши Дома Нужные Работы


Формулы для абсолютных и относительных погрешностей

Вид функции y Абсолютная погрешность y Относительная погрешность

 

Заметим, что во всех тригонометрических функциях углы заданы в радианах (1 рад = 57,300).

На основании вышеизложенного можно выделить следующую систему действий по нахождению погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей:

1) найти натуральный логарифм функции;

2) найти дифференциал логарифма;

3) заменить дифференциалы аргументов (переменных величин) их абсолютными погрешностями, а сами величины – их средними значениями;

4) заменить алгебраическое суммирование относительных погрешностей переменных величин (аргументов) арифметическим;

5) вычислить относительную погрешность косвенного измерения;

6) найти измеренное значение функции;

7) найти абсолютную погрешность измерения функции;

8) записать ответ.

К этому следует добавить, что значения всех величин, являющихся аргументами, должны быть найдены прямым измерением.

Приведем примеры выполнения этой системы действий. Отметим, что в физических исследованиях этот метод может применяться для любой (в том числе и не функциональной) связи между величинами.

Пример 1. Пусть требуется найти плотность вещества, из которого изготовлен данный однородный цилиндр.

Плотность вещества может быть найдена по формуле а объем цилиндра – по формуле Тогда где т, D, Н – соответственно масса, диаметр и высота цилиндра, значения которых были найдены прямыми измерениями: т = (64,8 ± 0,1) г, D = (2,25 ± 0,02) см, Н = (6,04 ± 0,02) см.

Выполняем следующие действия:

1) найдем натуральный логарифм функции

ln ρ = ln 4 + ln m - ln π - 2 ln D - ln Н;

2) найдем дифференциал логарифма:

3) заменим в полученном выражении дифференциалы их абсолютными погрешностями: dm → Δm, dπ Δπ, dD → D, dH → H, а сами величины – их средними значениями: т → <т>, D → <D>, Н → <Н>. При этом погрешностью округления Δπ можно пренебречь, если взять число πс достаточным количеством значащих цифр;

4) заменим алгебраическое суммирование погрешностей арифметическим:

5) вычислим относительную погрешность измерения плотности вещества по полученной формуле:

6) найдем измеренное значение плотности вещества:

7) найдем абсолютную погрешность измерения плотности вещества:

8) запишем ответ: ρ = (2,70 ± 0,07) г/см3; ερ = 3 %.

Обратите внимание:в этом методе сначала находится относительная погрешность, а потом абсолютная. Причем относительная погрешность является суммой относительных погрешностей прямых измерений! Это позволяет оценить, измерение какой величины с помощью выбранного прибора вносит наибольшую погрешность в конечный результат, и наметить действия по ее уменьшению. Так, в рассмотренном примере

Нетрудно видеть, что основным источником ошибки являются измерения диаметра этого цилиндра. Поэтому уменьшение погрешности измерения остальных величин бессмысленно, пока не уменьшится названная ошибка (например, при использовании штангенциркуля с меньшей ценой нониуса).

 

Пример 2. Требуется найти ускорение движения тележки по наклонной плоскости.

Ускорение тележки может быть найдено по формуле , где Vа и Vв – скорости тележки в двух точках плоскости А и В, а Sв и Sа – расстояния, пройденные тележкой от вершины плоскости до этих точек. Скорости тележки в точках А и В экспериментатор находил,деля длину тележки l на время прохождения тележкой фотоэлементов ti, расположенных в точках А и В. В эксперименте были получены следующие результаты:

Sв - Sа = (100,0 ± 0,2) см, l = (5,00 ± 0,05) см,

а времена составляют

tа = (0,054±0,001) с, tв = (0,031 ± 0,001) с.

Итоговая формула для нахождения ускорения была следующей:

Для нахождения погрешностей измерения

1) найдем натуральный логарифм функции:

2) найдем дифференциал логарифма:

3) заменим в полученном выражении дифференциалы их абсолютными погрешностями, а сами величины – их средними значениями;

4) заменим алгебраическое суммирование погрешностей арифметическим:

5) вычислим относительную погрешность измерения ускорения по полученной формуле:

6) вычислим значение ускорения:

7) найдем абсолютную погрешность измерения ускорения:

8) запишем ответ: а = (87,21 ± 10,80) см/с2; εа = 12,4 %.

Метод границ

Для измерения некоторых величин учеными разработаны специальные методы: метод рядов – для нахождения малых размеров с помощью линейки; метод резонанса; метод интерференции; метод адиабатического расширения; компенсационный метод и др. Физику-исследователю необходимо этими методами владеть.

При нахождении конкретного значения конкретной физической величины тем или иным методом тоже приходится находить относительную и абсолютную погрешности. При вычислении погрешностей в этом случае целесообразно пользоваться методом границ.

Метод границ состоит из следующей системы действий:

1) проводят прямые измерения величин, через которые необходимо найти искомую величину А, и записывают результаты измерений с учетом абсолютной погрешности В = Визм ± ∆В;С = Сизм ± ∆С;

2) находят нижнюю (НГ) и верхнюю (ВГ) границы значений каждой из этих величин:

НГ(В) = В - ∆В, ВГ(В) = В + ∆В; НГ(С) = С - ∆С, ВГ(С) = С + ∆С;

3) вычисляют границы косвенно измеряемой величины А (НГ(А) и ВГ(А)), используя правила, представленные в таблице 6.

Таблица 6

Правила подсчета НГ(А) и ВГ(А) для простейших функций

 

Вид функции А   НГ(А)   ВГ(А)  
А = В + С А = В - С А = В·С А = В : С А = Вn A = НГ(В) + НГ(С) НГ(В) - ВГ(С) НГ(В) ∙ НГ(С) НГ(В) : ВГ(С) (НГ(А))n ВГ(В) +ВГ(С) ВГ(В) - НГ(С) ВГ(В) ∙ ВГ(С) ВГ(В) : НГ(С) (ВГ(А))n

Значения границ вычисляют как промежуточный результат по правилам приближенных вычислений (с одной запасной цифрой). Если значения границ приходится округлять, то НГ(А) округляется с недостатком, а ВГ(А) – с избытком;

4) находят значение измеряемой величины как среднее арифметическое ее границ:

5) находят абсолютную погрешность косвенного измерения как полуразность границ величины А:

6) вычисляют относительную погрешность косвенного измерения:

7) значения погрешностей ΔА и ε округляют с избытком до одной значащей цифры, а значение измеренной величины Аизм округляют по основным правилам так, чтобы последняя цифра и значащая цифра абсолютной погрешности ΔА были в одном разряде. Например, объем цилиндра V = (100 ± 5) см3;
ε = 5 %; сопротивление резистора R = (1,25 ± 0,03) · 105Ом, ε = 3 %.

8) результат записывается в виде: А = Аизм ± ΔА; ε = … %.

Рассмотрим примеры вычислений и обработки результатов косвенных измерений по методу границ.

Пример 1.Найти плотность ρ вещества, из которого изготовлено тело массой m = (1,85 ± 0,01) кг и объемом V = (250 ± 5) см3, измеренными прямыми методами.

1. Результаты прямых измерений заданы: m = (1,85 ± 0,01) кг;
V = (250 ± 5) см3.

2. Найдем границы значений массы и объема тела: НГ(m) = 1,84 кг;
ВГ(m) = 1,86 кг; НГ(V) = 245 см3; ВГ(V) = 255 см3.

3. Вычислим границы значений плотности вещества. Для этого запишем формулу, по которой можно найти значение плотности: ρ = m / V. Пользуясь формулами для вычисления НГ и ВГ частного (табл. 15), получим:

 

 

4. Найдем значение измеряемой величины:

 

5. Найдем абсолютную погрешность (результат округлили с избытком до одной значащей цифры).

6. Найдем относительную погрешность: (результат округлили до одной значащей цифры).

7. Проверим, находятся ли в одном разряде последняя цифра в значении измеряемой величины и значащая цифра абсолютной погрешности. В данном случае – да.

8. Запишем результат измерения ρ = (7,4 ± 0,2) г/см3; ε = 3 %.

 

Пример 2.Найти ускорение свободного падения с помощью маятника.

Период колебаний маятника находят по формуле где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения. Период колебаний Т = t / n, где t – время, в течение которого маятник совершает п полных колебаний. Для нахождения ускорения свободного падения с помощью маятника необходимо найти значения длины маятника l и времени t, в течение которого маятник совершает n полных колебаний.

1. Запишем результаты прямых измерений:

 

№ п/п l, см lі|, см T, с | Δ tі|, с п, кол.
0,5 71,0 0,08 30,0
0,5 70,8 0,28 30,0
0,5 71,4 0,32 30,0
0,5 70,8 0,28 30,0
0,5 71,2 0,12 30,0
0,5 71,0 0,08 30,0
0,5 71,2 0,12 30,0
0,5 71,2 0,12 30,0
0,5 70,8 0,28 30,0
0,5 71,4 0,32 30,0
Среднее 139,5 0,5 71,08 0,20 30,0

 

Длина l маятника определена с помощью металлической рулетки с сантиметровыми делениями. Случайная погрешность Δlс = 0,5 см (см. табл.), инструментальная погрешность Δlи = 0,2 см, погрешность отсчета Δlо = 0,5 см, погрешность вычисления |Δlв| = 0,5 см. Следовательно, полная погрешность Δl = 1,7 см ≈ 2 см, а значение l = (140 ± 2) см.

Тогда нижняя граница НГ(l) = 138 см, верхняя граница ВГ(l) = 142 см.

Время t измерено с помощью секундомера. Случайная погрешность Δtc = 0,20 с, инструментальная погрешность Δtи = 0,3 с (см. табл.), погрешность отсчета Δtо = 0,2 с, погрешность вычисления Δtв = 0,02 с. В итоге получим Δt = 0,8 с, t = (71,1 ± 0,8) с.

Нижняя граница НГ(t) = 70,3 с, верхняя граница ВГ(t)= 71,9 с.

Абсолютную погрешность Δn можно оценить как величину, меньшую десятой доли колебания. Поэтому при нахождении числа п сточностью до трех значащих цифр (п = 30,0 кол.) погрешностью Δn можно пренебречь, то есть считать Δn = 0.

Если число π взять с точностью до четырех значащих цифр, то есть принять π = 3,142, то погрешностью Δπ можно пренебречь (Δπ = 0). При использовании микрокалькуляторов, позволяющих найти значение π с точностью до восьми значащих цифр, условие Δπ = 0 выполняется с очень высокой точностью.

2. Найдем границы значений длины маятника и времени его колебаний: нижняя граница НГ(l) = 138 см, верхняя граница ВГ(l) = 142 см; нижняя граница НГ(t) = 70,3 с, верхняя граница ВГ(t) = 71,9 с.

3. Вычислим границы значения ускорения свободного падения. Для этого запишем формулу, по которой можно найти значение ускорения свободного падения с помощью маятника: g = 2n2l / t2. Вычисления будем проводить последовательно: а) запишем границы измерений длины; б) вычислим границы произведения 4π2пl; в) запишем границы измерения времени; г) найдем границы t2; г) найдем границы частного: g = 4π2n2l / t2 (см. табл.).

 

Величина НГ ВГ
l, м 1,38 1,42
2 п l, м 4,90·104 5,05·104
t, с 70,3 71,9
t2, с2 4,94·103 5,17·103
g = 4π2n2l / t2, м/с2 9,47 10,23

 

4. Найдем значение измеряемой величины:

5. Найдем абсолютную погрешность:

6. Найдем относительную погрешность ε = Δg / g 100 % = 4 %.

7. Проверяем, находятся ли в одном разряде последняя цифра в значении измеренной величины и значащая цифра абсолютной погрешности. В данном случае – да.

8. Запишем результаты измерения g = (9,9 ± 0,4) м/с2, ε = 4 %.

Обратите внимание: обрабатывать результаты косвенных измерений методом среднего арифметического некорректно!!

 


Лабораторный практикум

2.1. МЕХАНИКА






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.