Раздел 3. Материалы тестовой системы или практических заданий по темам лекций

Практические задания к теме «Матрицы»

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы A = .

Решение. По определению, при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число:

.

Пример 2. Найти сумму и разность матриц A и B, если

.

Решение. Так как количество строк и столбцов матрицы A равно количеству строк и столбцов матрицы B, то их сумма и разность возможны:

,

.

Пример 3. Найти AB и BA, если

.

Решение. Так как обе матрицы квадратные и одной размерности, то их можно перемножать в любом порядке:

Как показывает этот пример, AB ¹ BA.

Ответ: , .

Пример 4. Найти AB и BA, если

.

Решение. а) Так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, то произведение AB возможно:

б) Произведение BA невозможно, т. к. число столбцов первой матрицы B не равно числу строк второй матрицы A.

Ответ: , а матрица BA не существует.

Практические задания к теме «Определители»

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение.

Пример 2. Вычислить определитель :

а) по правилу "треугольников";

б) разложив его по элементам первого столбца;

в) превратив его в "удобный".

Решение: а) По правилу "треугольников"

б) Разложим заданный определитель по элементам первого столбца, которые равны a₁₁= 1, a₂₁= 2, a₃₁ = 3. Вычислим алгебраические дополнения этих элементов:

,

,

, так как первая строка пропорциональна второй.

Итак,

a₁₁×A₁₁ + a₂₁× A₂₁+ a₃₁ × A₃₁= 1 × 5 +2 × (‑10) + 3 × 0 = ‑15.

в) Превратим заданный определитель в "удобный".

Сложим элементы второго и третьего столбцов. Результат запишем во второй столбец.

Разложим этот определитель по элементам второго столбца, т. к. в нём содержится два нуля.

Вычислим определитель 2-го порядка.

.

Ответ: ‑15.

Пример 3. Вычислить определитель четвёртого порядка

.

Решение. Превратим определитель в удобный. Для этого из второго столбца вычтем третий, тогда получим:

.

Затем из третьего столбца вычтем удвоенный первый:

.

Из четвёртого столбца вычтем утроенный первый:

.

Разложим этот определитель по элементам 1-й строки:

.

Сложим второй и третий столбцы, получим:

.

Из второго столбца вычтем утроенный первый и разложим определитель по элементам третьей строки:

.

Ответ: 296.

Практические задания к теме «Обратная матрица»

Пример 1. Дана матрица А= . Найти обратную матрицу.

Решение. Вычисляем определитель матрицы А

.

Следовательно, матрица невырожденная и для нее существует обратная. Находим алгебраические дополнения

Следовательно, .

Пример 2. Найти матрицу, обратную матрице

A = .

Сделать проверку.

Решение. Обратная матрица имеет вид:

.

Нужно сделать проверку, используя то свойство, что произведение заданной матрицы A и найденной обратной A^‑1должно равняться единичной матрице, т. е. A × A^-1= E.

,

следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: .

Практические задания к теме «Ранг матрицы»

Пример 1. Определить ранг матрицы .

Решение. Сложим соответствующие элементы 1-й и 3-й строк

~

Разделим на 4 элементы 1-й строки

~

Из элементов 1-й строки вычтем соответствующие элементы 2-й строки и вычеркнем 1-ю строку

~ ~ .

Ранг последней матрицы равен 2, т.к., например, .

Ответ: r(A) = 2

Пример 2.Определить ранг матрицы .

Решение. В левом верхнем углу матрицы минор второго порядка отличен от нуля . Два минора третьего порядка, которые его окаймляют равны: .

Как видно, они нулевые, поэтому r(А)=2.

Практические задания к теме «Системы линейных уравнений»

Пример 1. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение.Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как a₁₁ ¹ 0, то, умножая первую строку матрицы на числа (‑2), (‑4) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную x₁ из второй и третьей строки

Шаг 2. Учитывая, что a₂₂ = ‑7¹ 0, умножаем вторую строку на (‑1) и прибавляем ее к третьей. Получим:

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, свелось к неверному равенству 0 = ‑1, следовательно, данная система несовместна.

Пример 2. Решить систему в матричной форме

Решение. Введём обозначения матриц:

,

тогда решение системы в матричной форме запишется как .

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если |A| ¹ 0. Вычислим этот определитель:

Матрица A невырожденная, следовательно, система имеет единственное решение.

Для решения системы линейных уравнений нам требуется найти матрицу, обратную к матрице A: , где — присоединенная матрица к матрице A. Элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A':

.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A':

.

Следовательно, присоединённая матрица имеет вид:

.

Тогда обратная матрица

.

Теперь, зная обратную матрицу, найдем решение системы:

.

Итак, x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 2.

Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в каждое уравнение исходной системы:

Уравнения обратились в тождества, значит, неизвестные найдены правильно.

Ответ: .

Пример 3. Решить систему, используя формулы Крамера:

Решение. Вычислим основной определитель системы (определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных)

,

значит, система имеет единственное решение.

Вычисляем другие определители:

,

,

.

Находим неизвестные:

.

Сделаем проверку:

Уравнения обратились в тождества, значит, неизвестные найдены верно.

Ответ: .

Пример 4.Исследовать систему уравнений

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Прибавим элементы второй строки к соответствующим элементам первой и четвертой строк. Затем разделим элементы первой строки на 4, а элементы четвертой строки на 5:

Вычтем из элементов третьей строки соответствующие элементы первой строки, а из элементов пятой строки вычтем элементы четвертой строки; после этого вычеркнем третью и пятую строки:

Найдем определитель последней матрицы:

.

Следовательно, r(A) = 3. Ранг расширенной матрицы также равен 3, так как найденный определитель является минором матрицы B.

Итак, система совместна. Для ее решения возьмем, например, первое, третье и пятое уравнения:

Отсюда, выразив одни переменные через другие, найдем, что x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Практические задания к теме «Множества»

1. Описать перечислением элементов множество:

A = {xÎZ: (x – 3)(x² – 1) = 0 и x ³ 0}

A = {xÎR: }

A = {xÎN: }

2. Пусть A = (–1; 2], B = [1; 4). Найти множества AÈB, AÇB, A\B, B\A и изобразить их на числовой оси.

3. Пусть универсальное множество U – множество всех сотрудников некоторой фирмы; A – множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; В – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество менеджеров фирмы. Определить содержательный смысл каждого из следующих множеств:

; ; ; ; ; ; , A\B, ,

, .

Практические задания к теме «Функции одной переменной»

Пример 1.Найти область определения и множество значений функций

.

Решение.

Областью определения функции y=sinx является множество всех вещественных чисел, а множество значений функции есть множество всех чисел, заключенных между –1 и 1, т.е. Х=(–¥; +¥) и Y=[–1; 1].

Так как функция представляет собой сумму функций, то область определения функции будет состоять из всех тех значений х, которые принадлежат одновременно области определения функций . Поэтому область определения заданной функции определяется как совокупность значений х, при которых одновременно выполняются неравенства и x–1>0. Это будет интервал (1; 2).

Пример 2. Установить четность или нечетность функций

.

Решение.

Область определения функции (–¥; +¥);

Следовательно, функция нечетная.

Область определения функции [–1;1];

следовательно, функция четная.

Для функции имеем . Таким образом,
f(–x)¹f(x) и f(–x)¹–f(x), т.е. заданная функция не является ни четной, ни нечетной.

Практические задания к теме «Предел функции»

Пример 1. Найти пределы

Решение.

1) При х® –2 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. Принято говорить, что получается неопределенность вида 0/0. Непосредственно теорему о пределе частного применить нельзя. Необходимо раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель (х+2), который обращает в нуль числитель и знаменатель дроби.

Получаем .

Неопределенность 0/0 раскрыта. Применяя теорему о пределе частного, имеем

.

2) Имеем неопределенность вида ¥/¥. Разделив на х числитель и знаменатель, получим .

3) Имеем неопределенность вида 0/0. Разделив на (х-2) числитель и знаменатель, получим

Пример 2.Найти предел .

Решение. Иногда при отыскании предела полезно произвести замену переменной с тем, чтобы упростить отыскание предела.

Сделаем такую подстановку: kx=y. Отсюда следует, что при x®0 и y®0, a x=y/k. Тогда .

Пример 3. Найти .

Решение.

1) Сделаем замену переменной, полагая 1/x=a, тогда a®¥ при х®0, поэтому .

2) Сделаем замену переменной, полагая х=kt, тогда t®¥ при x®¥. Следовательно, .

Практические задания к теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Пример 1. Найти производные функций:

Решение.

Полагая u=kx, имеем

Здесь – производная косинуса, – производная корня, – производная дроби.

Пример 2. Найти производные функций:

Решение.

Пример 3. Найти производные функций:

Решение.

Пример 4. Найти производные функций:

Решение.

, , , ,

.

Пример 5. Найти производные функций:

Решение. В данных примерах целесообразно прибегнуть при нахождении производных к логарифмированию обеих частей равенств. Это желательно делать всегда, когда следует продифференцировать функцию вида

,

. Практические задания к теме «Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей»

Пример 1. Найти

Решение. Функция f(x) = х² –1+lnx и g(x)= e ^x – e определены в окрестности точки х=1. Далее , т.е. имеем неопределенность вида 0/0.

Предел отношения их производных существует , причем g¢(x)¹0. Следовательно, эти функции удовлетворяют условиям правила Лопиталя, по которому предел также существует и равен пределу отношения их производных

.

Пример 2. Найти

Решение.

Пример 3. Найти .

Решение. Здесь неопределенность вида . Преобразуем исходное выражение , и мы получили неопределенность вида ¥/¥.

Применяя правило Лопиталя, получим .

Пример 4. Найти .

Решение. Здесь неопределенность вида ¥ – ¥. Преобразуем разность

. Здесь неопределенность вида 0/0.

.

Неопределенности вида 0⁰, 1^¥, ¥⁰ сводятся к неопределенности вида с помощью тождества f(x) ^g(x) = e ^{g(x) ln f(x)} .

Пример 5. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида 0⁰. Но x^х = e ^xlnx , и мы получили в показателе степени неопределенность вида . Следовательно,

.

Практические задания к теме «Исследование функции»

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график .

Решение.

Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки х=1.

Так как и , то данная функция общего вида.

В точке х=1 функция имеет разрыв II рода, т.к. , в остальных точках она непрерывна.

Прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

, следовательно, прямая у=0 — горизонтальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты.

, ,

, что подтверждает отсутствие наклонной асимптоты при наличии горизонтальной.

Первая производная: .

Производная у¢(x) не существует при х=1 и у¢(х)=0 при х=0. Область определения разобьем критическими точками на интервалы (–¥; 0), (0; 1), (1; +¥) и определим знак у¢(х) в каждом из них: y¢(–1)=–1/4<0, y¢(1/2)=8>0, y¢(2)=–4<0. Таким образом, в интервалах первая производная имеет такую последовательность знаков: –, +, –.

Приходим к заключению, что в критической точке х=0 имеет место минимум. Функция убывает на интервале (–¥; 0), возрастает на интервале (0; 1) и убывает на интервале (1; +¥);
у(0)=–1.

Вторая производная:

.

Производная у²(х) не существует в точке х=1 и равна нулю при х = ‑1/2. Область определения функции разобьем на интервалы (‑¥; ‑1/2), (–1/2; 1), (1;+¥) и определим знак у²(х) в каждом из них: у²(‑1)=–1/8<0, у²(0)=2>0, у²(2)=10>0.

При переходе через критические точки II рода вторая производная меняет знак, следовательно, х = –1/2 – точка перегиба, у(–1/2)=–8/9.

Функция выпукла на интервале (–¥; –1/2), вогнута на интервале (‑1/2; 1), вогнута на интервале (1; +¥).

Если х=0, то у=–1; если у=0, то х=1/2. Следовательно, (0;1) и (1/2;0) — точки пересечения графика функции с осями системы координат.

Результаты проведенного исследования сведем в таблицу:

Практические задания к теме «Неопределенный интеграл»

Пример 1. Найти интеграл .

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Применив свойства о возможности вынесения из под знака интеграла постоянного множителя и о вычислении алгебраической суммы нескольких функций, стоящих под знаком интеграла, получим:

Используя соответствующие формулы таблицы основных интегралов, имеем:

Таким образом,

Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой . Окончательно получаем:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Интеграл не табличный. Применим подстановку второго вида: t=3x, тогда dt=3dx, dx=dt/3. Подставляя в интеграл, имеем . Это табличный интеграл: . Возвращаясь к переменной х, получим

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Применим подстановку первого вида и подынтегральная функция приобретает вид:

.

Чтобы перейти к переменной х, надо из подстановки найти , тогда .

Пример 4. Найти интегралы .

Решение.

Положим тогда

Положим , тогда

.

Практические задания к теме «Определенный интеграл»

Пример 1. Вычислить интегралы . Решение.

, сделаем подстановку , получим:

Практические задания к теме «Несобственные интегралы»

Пример 1. Найти несобственный интеграл .

Решение. Это интеграл с бесконечным верхним пределом. Заменим верхний предел интегрирования на некоторую конечную величину b, устремив ее в пределе к бесконечности:

= = = = =

= = = = =1.

Ответ: = 1 , несобственный интеграл сходится.

Пример 2. Найти несобственный интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом. Заменим это предел на некоторую конечную величину a, устремив ее к бесконечности:

= = =

= = [ но arc tg 0 = 0, а arc tg = - ] =

Ответ: = , несобственный интеграл сходится.

Пример 3. Найти несобственный интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом. Заменим этот верхний предел на некоторую конечную величину b, устремив ее к бесконечности:

= . [ z = ln x , dz = dx ]

Выполним замену переменной под знаком интеграла

= = =

= = [ но ln = ] = .

Ответ: = , несобственный интеграл расходится.

Пример 4. Найти несобственный интеграл .

Решение. Этот интеграл с бесконечным верхним пределом. Заменим верхний предел интегрирования на некоторую конечную величину b, устремив ее в пределе к бесконечности:

Ответ. , несобственный интеграл сходится. Практические задания к теме «Классическое определение вероятности»

Пример 1. В урне имеются 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: а) белый, б) черный?

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что вынули белый шар, событие В состоит в том, вынули черный шар.

Общее число исходов n=10 (шаров всего 10); число исходов, благоприятствующих событию А, m₁=3 (можно вынуть 3 белых шара); число исходов, благоприятствующих событию В, m₂=7 (можно вынуть 7 черных шаров). По классическому определению вероятности:

, .

Ответ. ; .

Пример 2. Какова вероятность появления четного числа очков при одном бросании игрального кубика? (Игральный кубик – кубик, грани которого отмечены номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6.)

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что выпало четное число очков. Общее число исходов n=6. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3 (может выпасть 3 четных числа: 2, 4, 6).

.

Ответ.

Пример 3. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два «герба».

Решение.

В результате подбрасывания каждой монеты возможно выпадение «герба» (обозначим такое событие Г) и выпадение «решки» (обозначим такое событие Р). Когда подбрасывают сразу 3 монеты, то возможны 8 различных исходов, которые можно объединить в пространство элементарных событий:

.

Пусть событие А состоит в том, что выпало ровно 2 «герба». Общее число исходов n=8. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3 (эти исходы подчеркнуты). Следовательно,

Ответ. .

Пример 4. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого случайным образом извлеченного жетона не содержит цифры 5.

Решение.

Событие А={номер жетона не содержит цифры 5}. Число всех исходов n=100. Для того чтобы подсчитать число исходов, благоприятствующих событию А, выпишем все номера, которые содержат цифру 5: 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95. Таких чисел 19, следовательно, m=100-19=81. Искомая вероятность:

.

Ответ. .

Практические задания к теме «Основные формулы комбинаторики»

Пример 1. В урне 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вытянутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово «спорт».

Решение.

Событие А={слово «спорт»}. Комбинации, которые можно составить из 5 кубиков и которые будут различаться только порядком их расположения, – это перестановки. Число таких перестановок равно 5!=120. Следовательно, n=120, m=1 (так как из 120 составленных слов слово «спорт» получается 1 раз). Искомая вероятность

.

Ответ. .

Пример 2. В группе 30 студентов. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое студентов. Какова вероятность того, что это девушки?

Решение.

Событие А={к доске вызовут двух девушек}.

Найдем число всех исходов испытания, состоящего в вызове двух студентов. Это число равно количеству способов, которыми можно выбрать двух студентов из 30. По условию задачи порядок вызова к доске не играет роли, поэтому . Найдем теперь число благоприятствующих исходов. Для этого следует определить число способов выбора двух девушек из 18. Оно равно . По определению вероятности,

.

Ответ. .

Пример 3. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «два».

Решение.

Событие А={слово «два»}.

Найдем число всех исходов испытания, состоящего в выборе трех карточек. Это число равно количеству способов, которыми можно выбрать три карточки из пяти, порядок появления которых важен. Поэтому . Найдем теперь число благоприятствующих исходов. Из 60 полученных слов слово «два» получится один раз . Искомая вероятность

.

Ответ. .

Пример 4. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв множества {А, О, Б, К, М} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность, что в результате будет выложено слово «мама».

Решение.

Число всех исходов будет равно . Число благоприятствующих исходов равно m=1. Искомая вероятность

.

Практические задания к теме «Основные теоремы теории вероятностей»

Пример 1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша для владельца 1 лотерейного билета?

Решение.

Пусть событие А={вещевой выигрыш}, событие В={денежный выигрыш}, событие С={выигрыш}. Владелец одного лотерейного билета может выиграть вещевой или денежный выигрыш, следовательно, события А и В несовместны. Тогда С=А+В и

.

Ответ. 0,02.

Пример 2. Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0,2, а второго – 0,13. Чему равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?

Решение.

Пусть событие А={поломка первого станка}, событие В={поломка второго станка}, событие С={поломка обоих станков}. Тогда С=АВ. Так как события А и В независимы, то

.

Ответ. 0,026.

Пример 3. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена.

Решение.