МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

МАТЕМАТИКА

(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)

Методические указания к изучению дисциплины

и выполнению контрольной работы № 3

для студентов заочной формы обучения

Специальности:

080105 - Финансы и кредит

080109 - Бухгалтерский учет, анализ и аудит

080111 - Маркетинг

080502 - Экономика и управление на предприятии (по отраслям)

080504 - Государственное и муниципальное управление

080506 - Логистика

080507 - Менеджмент организации

220501 – Управление качеством

Санкт-Петербург

Допущено

редакционно-издательским советом СПбГИЭУ

в качестве методического издания

Составители:

ст. преп. В. Г. Блинова

канд. техн. наук, доцент Я. В. Войтишек

ст. преп. Е. Н. Зверева

Рецензент

канд. хим. наук, доцент В.В. Фокин

Подготовлено на кафедре

высшей математики

Одобрено научно-методическим советом университета

Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,

представленного составителями

© СПбГИЭУ, 2006

Содержание

1. Общие положения……………………………………………...4

2. Методические указания к изучению дисциплины.…………..4

3. Методические указания к выполнению заданий № 1- № 4

Комментарии к задаче № 1

§1. Случайные события. Основные понятия…………………….5

§2. Случайные события. Операции………………………………6

§3. Классическое определение вероятности……………………..6

§4. Примеры задач на классическую вероятностную схему……8

§5. О статистической и геометрической вероятностях…………9

§6. Простейшие свойства вероятностей………………………..10

§7. Условные вероятности. Независимость событий………….11

§8. Вероятность наступления хотя бы одного события……….12

§9. Формула полной вероятности………………………………14

§10. Формула Байеса……………………………………………..16

Комментарии к задаче № 2

§11. Повторные независимые испытания………………………17

§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли…………………………………………………………..19

Комментарии к задаче № 3

§13. Случайные величины дискретного типа…………………..22

§14. Функция распределения…………………………………….23

§15. Математическое ожидание случайной величины

дискретного типа…………………………………………………24

§16. Дисперсия случайной величины…………………………..26

§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения…26

Комментарии к задаче № 4

§18. Случайные величины непрерывного типа…………………28

§19. Нормальный закон распределения и его характеристики……………………………………………………30

§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин……………………………………………………………31

4. Методические указания к выполнению задания № 5……….32

5. Контрольные задания № 1- № 4.……………………………...53

6. Контрольные задания № 5.……………………………………71

7. Выбор варианта. Требования к оформлению контрольной работы.…………………………………………..79

8. Список литературы……………………………………….…...80

Приложение 1 Таблица случайных чисел…………….………...81

Приложение 2 Нормированная функция Лапласа.………….………83

Приложение 3 Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения .….……..85

Приложение 4 Критические точки распределения ...………86

Приложение 5 Содержание дисциплины..……………………..87

Приложение 6 Образец оформления титульного листа контрольной работы.…………………………………………….90

Приложение 7 Перечень контрольных вопросов для

проверки знаний по дисциплине.……………………………….91

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Цель дисциплины «Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)» - дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач. Для этого при изучении курса студенты осваивают методы математического моделирования экономических и иных возникающих на практике ситуаций, вероятностные методы их исследования и решения, методы обработки статистических данных (аналитически и при помощи вычислительной техники), а также методы дальнейшего анализа полученных результатов. Это способствует также развитию логического и алгоритмического мышления.

Теория вероятностей опирается на предшествующие разделы математики, как на курс средней школы, так и на разделы, изучавшиеся на 1 курсе (множества, функции, непрерывность, производные, интегралы, ряды).

Студенты 2 курса, имеющие зачтенные контрольные работы № 3 и № 4, допускаются к экзамену по математике.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Изучение дисциплины следует начать с теоретической части данных методических указаний. Поскольку методические указания не являются учебником и теоретический материал здесь изложен кратко, полезно обратиться к учебникам, перечисленным в списке литературы.

Для изучения дисциплины в общепринятом логическом порядке полезно сверяться с Приложением 5 данного издания.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ЗАДАНИЙ № 1 - № 4

КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А₁ - выпадение “шестерки” при одном броске игральной кости (кубика с занумерованными гранями).

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: событие А₂ - при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие буквой W.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие А₃ - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим символом Æ.

События W и Æ будем рассматривать как частные (“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются таковыми.

Два или более событий назовем несовместными, если в результате осуществления условий S (или, по-другому, в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А₄ - при броске игральной кости выпало нечетное число очков - несовместно с событием А₁ (выпала “шестерка”).

§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ

Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А₁ и А₄ из §1 А₁ + А₄ = {выпало 1,3,5 или 6 очков}.

Произведение событий А · В - это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = {при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В · А₄ = {выпала грань с 3 очками}.

Для несовместных событий А и В их произведение А·В=Æ : у них нет общих исходов. В частности, для последнего примера §1 можно записать А₁ ·А₄ = Æ.

Событие называется противоположным к А (т.е. состоит в том, что “ достоверное событие W происходит, а событие А не происходит”).

Для операций над событиями выполняются свойства:

Если события Н₁, Н₂, ..., Н_n попарно несовместны (Н_i·H_j=Æ при i ¹ j ), а их сумма - достоверное событие (H₁+H₂+...+H_n = W ), то говорят, что {H₁, H₂, ..., H_n} - полная группа несовместных событий или разбиение W. В частности, {A, } - полная группа несовместных событий для любого А.

§3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события А - это число Р(А), которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А.

В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых множество W представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие W здесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты - 4 различных исхода: “орел-орел” (О, О), “орел-решка”(О, Р), а также Р, О и Р, Р; их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие W для данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во втором 1/4.

В общем случае, если число всех элементарных исходов N(W) равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число благоприятствующих исходов для А или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие А ( N(A) ), равно m, тогда вероятность

( 1 )

Это формула классической вероятности.

В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А₁ включает в себя ровно 1 элементарный исход, А₂ (достоверное) - все 6, А₃ (невозможное) - 0, А₄ - 3. Поэтому

, ,

,

Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = {выпал хотя бы один “орел”} включает в себя три элементарных исхода из четырех, поэтому .

Событию D = {при трех бросках монеты выпало ровно два ”орла”} благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому .