|
|
Нелинейные модели парной регрессии и корреляцииЕсли между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два класса нелинейных регрессий: 1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например – полиномы различных степеней – – равносторонняя гипербола – – полулогарифмическая функция – 2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например – степенная – – показательная – – экспоненциальная – Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции. Парабола второй степени
А после обратной замены переменных получим
Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. Равносторонняя гипербола
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся). К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция – К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция
где
а затем потенцированием находим искомое уравнение. Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр
Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора
Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии: Таблица 1.5
Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах. Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:
где Величина данного показателя находится в пределах: Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака
т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии; Индекс детерминации Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по
где О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном случае, вычисляется по формуле (1.8). Рассмотрим пример из параграфа 1.1, предположив, что связь между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих нелинейных уравнений: Для нахождения параметров регрессии Таблица 1.5
Найдем уравнение регрессии:
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
а индекс детерминации Средняя ошибка аппроксимации:
значительно превышает табличное Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.6. Для нахождения параметров регрессии Таблица 1.6
Найдем уравнение регрессии:
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
а индекс детерминации Средняя ошибка аппроксимации:
значительно превышает табличное Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.7 Для нахождения параметров регрессии
где Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных данных: Таблица 1.7
Найдем уравнение регрессии:
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии:
Теперь заполняем столбцы 7-10 нашей таблицы. Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
а индекс детерминации Средняя ошибка аппроксимации:
значительно превышает табличное Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.8. Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней ошибке аппроксимации:
Таблица 1.8
Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует модель с квадратным корнем. Но в данном случае, так как индексы детерминации линейной модели и модели с квадратным корнем отличаются всего на 0,004, то вполне можно обойтись более простой линейной функцией. |
|
, 
;
;
.
;
;
.
. В результате приходим к двухфакторному уравнению 
, оценка параметров которого при помощи МНК, как будет показано в параграфе 2.2 приводит к системе следующих нормальных уравнений:
(1.17)
. Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:
(1.18)
и другие.
, обратная – 
.
, 
.
, которая приводится к линейному виду логарифмированием:
;
;
,
. Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:
в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:
. (1.19)
, то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:
. (1.20)
, (1.21)
– общая дисперсия результативного признака 
– остаточная дисперсия.
. Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.
, (1.22)
.
можно сравнивать с коэффициентом детерминации 
для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина 
-критерию Фишера:
, (1.23)
– число наблюдений, 
– число параметров при переменной 
и числе степеней свободы 
(для остаточной суммы квадратов) и 
(для факторной суммы квадратов).
и 
и составляем вспомогательную таблицу ( 
).
,
.
. Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.
,
, который показывает, что 91,8% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.
, что недопустимо велико.
,
.
и составляем вспомогательную таблицу ( 
,
.
. Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.
,
, который показывает, что 99,1% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 0,9% приходится на долю прочих факторов.
показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.
,
,
.
. После потенцирования находим искомое уравнение регрессии:
.
,
, который показывает, что 96,7% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 3,3% приходится на долю прочих факторов.
показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.
,
( 
, %
