Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

Несобственные интегралы II рода

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример

Критерий Коши

1. Пусть определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть определена на и .

Тогда сходится

Абсолютная сходимость

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.

#9) Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера

полученного им в 1730 г., через замену переменной, и на сегодняшний день, именно определение Лежандра известно как «классическое» определение гамма-функции.

Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть что для целых n имеем , и вообще

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, называемое интегралом Римана-Ханкеля

где контур — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Свойства

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение

которое, при фиксированном начальном условии, единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию. Теорема о единственности.
Для Г-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

.

И формула умножения Гаусса:

Частный случай которой при n=2 был получен Лежандром:

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюса в точках Гамма-функция имеет полюс первого порядка в для любого натурального и нуля; вычет в этой точке задается так

.

Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией

#10) В математике бета-функцией ( -функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при , .

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

.

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

,

где — Гамма-функция;

;

;

,

где — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

.

#11) Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

.

#12) Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

#15) Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с .

. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.