Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .

Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры
Масса тонкой плоской пластинки плотностью
Площадь куска поверхности
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости
Момент инерции плоской фигуры относительно оси
Момент инерции плоской фигуры относительно оси
Координаты центра масс однородной пластинки
Примечания	1) Область — проекция на плоскость ; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; — угол между касательной плоскостью и плоскостью . 2) Совмещенной с плоскостью . 3) Или, что то же, относительно центра О.

Определение

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция . Рассмотрим разбиение

.

Введем обозначения

,

.

Наконец, рассмотрим суммы

– нижняя сумма Дарбу,

- верхняя сумма Дарбу.

Свойства сумм Дарбу[

• Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу на заданном разбиении.

;

Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения

• При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться. Верхняя же сумма Дарбу при добавлении точек к имеющемуся разбиению никак не может увеличиться.

,

означает, что есть измельчение разбиения ;

• Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.

,

Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние - снизу.

• Пусть и – верхний и нижний интегралы Дарбу соответственно. Тогда

;

• Пусть — интегральная сумма. Тогда

,

.

• При увеличении количества точек разбиения верхняя сумма не увеличивается, а нижняя не уменьшается.

#16) Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция – интегрируема на , то она ограничена на

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. По теореме Кантора функция равномерно непрерывна на . Это означает, что для любого найдется такое ,
что для любых точек , таких, что , справедливо
неравенство . Отсюда следует, что для любого разбиения
, диаметр которого , справедливо неравенство
, .
Поэтому
,
если только . Таким образом, выполнено условие критерия интегрируемости в терминах колебаний и тем самым теорема доказана.

Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке и имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на .

Доказательство. Пусть – точки разрыва. Зададим
и для каждой точки разрыва выберем некоторую ее окрестность длины,
меньшей чем . Эти окрестности можно выбрать так, чтобы они попарно не пересекались. Обозначим их . Выбросив эти окрестности
из отрезка , получим конечный набор отрезков (их количество не обязательно равно ). На каждом из этих отрезков функция
непрерывна и, в силу теоремы Кантора, равномерно непрерывна. Поэтому для каждого отрезка найдется , такое, что для любой пары
точек условие влечет выполнение неравенства
. Положим .
Пусть теперь – произвольное разбиение отрезка с диаметром . Рассмотрим сумму
.
Разобьем ее на две суммы. В первую отнесем слагаемые, отвечающие тем
отрезкам , каждый из которых содержится в одном из отрезков
. Для этих отрезков имеем , и поэтому для соответствующей суммы справедливо неравенство

.

Во вторую сумму попадают слагаемые, отвечающие тем отрезкам
, каждый из которых имеет общие точки по крайней мере с одним
из интервалов . Оценим сумму длин этих отрезков. Среди частичных отрезков, имеющих общие точки с , могут быть такие, которые целиком содержатся в . Сумма их длин не превосходит длины интервала
, которая, в свою очередь, не превосходит . Кроме того, могут быть
два отрезка, содержащие концы интервала , сумма их длин не превосходит . Таким образом, сумма длин всех отрезков, имеющих
общие точки с интервалами , не превосходит . Обозначим
через колебание функции на отрезке . Поскольку ограничена, то и . Поэтому для второй суммы
получаем следующую оценку:

.

Окончательно,

.

Отсюда, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, вытекает справедливость теоремы.

#17) Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D₁ и D₂, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D₁ и D₂, причем

2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

(11)

В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f(ξ, η), и формула (11) принимает вид

7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области)

Первая теорема о среднем — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка

Пусть функция интегрируема на отрезке , и ограничена на нём числами и так, что . Тогда существует такое число , , что

.

Доказательство

Из неравенства по свойству монотонности интеграла имеем

.

Обозначив , получим требуемое утверждение. Так определённое число называют средним значением функции на отрезке , откуда и название теоремы

#21) Замена переменных в двойных интегралах. Если непрерывно дифференцируемые функции (19.9) осуществляют взаимно однозначное отображение области Плоскости На область Плоскости (рис. 19.9), то

(19.10)

Где - функциональный определитель (якобиан):

В случае перехода к полярным координатам формула (19.10) принимает ввд

(19.11)

(19.12)

Связь между декартовыми и полярными координатами[править | править вики-текст]

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты и путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты и могут быть переведены в полярную координату :

(по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующих соображения:

• Для , может быть произвольным действительным числом.
• Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в . Обычно выбирают интервал или .

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):

#22) Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры
Масса тонкой плоской пластинки плотностью
Площадь куска поверхности
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости
Момент инерции плоской фигуры относительно оси
Момент инерции плоской фигуры относительно оси
Координаты центра масс однородной пластинки
Примечания	1) Область — проекция на плоскость ; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; — угол между касательной плоскостью и плоскостью . 2) Совмещенной с плоскостью . 3) Или, что то же, относительно центра О.

#23-26) Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с :

где — элемент объема в рассматриваемых координатах.