Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

Расстояние d между двумя точками ( , , ) и ( , , ) в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками ( , , ) и ( , , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

В частности, при имеет координаты середины данного отрезка:

, , .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом

где угловой коэффициент,

a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси , – свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью .

Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , определяется по формуле

. (2)

Пример 1. Составить уравнение прямой проходящей через (.)А(-1,2) с угловым коэффициентом .

Решение. Воспользуемся формулой (2), подставив координаты данной точки и угловой коэффициент или общее уравнение .

Ответ: общее уравнение прямой .

Угол между прямыми

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда (2.38) Если то Если , то или .

Уравнение прямой на плоскости

Определение.Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой в отрезках – описание и пример.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова систему координатOxy. Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координатOxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях Ox и Oy, считая от начала координат. Поясним этот момент. Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки и , так как и . А точки и как раз расположены на координатных осях Ox и Oy соответственно и удаленны от начала координат на a и b единиц. Знаки чисел a и b указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак «+» означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак «-» означает обратное. Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат Oxy в зависимости от значений чисел a и b в уравнении прямой в отрезках.

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy. Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида , следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки и , после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

Приведем пример.

Пример.

Постройте прямую линию, заданную уравнением прямой в отрезках вида .

Решение. По заданному уравнению прямой в отрезках видно, что прямая проходит через точки . Отмечаем их и соединяем прямой линией.

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид

,

где – расстояние от прямой до начала координат; a – угол между нормалью к прямой и осью .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак mпротивоположен знаку , чтобы .

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами, a – угол между прямой и осью , b – между прямой и осью :

,

тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

.

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

Пример 5.Даны точка А(3,-1) и уравнение прямой .

1) Привести уравнение к нормальному виду, найти расстояние от точки до прямой.

2) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно данной прямой.

Решение. 1) Найдем нормирующий множитель , m положительна, т. к. . Нормируем уравнение

,

где a – угол между прямой и осью , – расстояние от прямой до начала координат.

– расстояние от точки А до прямой.

Найдем по таблице угол . Уравнение можно записать

.

2) Прямая, параллельная данной, имеет тот же угловой коэффициент. По формуле (3) составим уравнение , или в общем виде . Вообще говоря, прямая, параллельная данной, будет иметь тот же нормальный вектор , и её можно найти по формуле , где – координаты точки.

Ответ: нормальное уравнение прямой , где ; – уравнение искомой параллельной прямой.

12)Эллипсом - называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

13) Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

14) Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точкиF и заданной прямойd, не проходящейчерез заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

15) Покажем как происходит сложение двух векторов. Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов назвается правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

16) Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительнобазиса .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то