Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 1) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям. Если F 1 ( x ; y ; z )=0 и F 2 ( x ; y ; z )=0 – уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

26)угол между двумя прямыми формула

27) параметрические уравнения прямой в пространстве

Мы уже выводили параметические уравнения прямой на плоскости, давайте получим параметрические уравнения прямой, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координатOxyz. Зададим в ней прямую a (смотрите раздел способы задания прямой в пространстве), указав направляющий вектор прямой и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М₁, то мы получим координаты вектора (смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала), то есть, . Очевидно, что множество точек определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид и представляет собой параметрические уравнения прямой a. Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра .

Приведем пример параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве: . Здесь .

28) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямые линии, принадлежащие плоскости и занимающие частное положение по отношению к плоскостям проекций, называются главными линиями плоскости.

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее. Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для решения которой применяетсяметод вспомогательных секущих плоскостей.

29) Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x₁ = 1, х₂ = 1,4, х₃ = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности. Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,...поставлено в соответствие вещественное число x_п, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃, …, x_n, … (2.1)

30) Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
Этот номер зависит, вообще говоря, от выбора окрестности точки a. Сформулированное условие равносильно тому, что вне любой окрестности точки a находится лишь конечное число членов рассматриваемой последовательности. Вспомнив, что окрестности конечных и бесконечно удаленных точек числовой прямой определяются заданием некоторого числа > 0 (п. 2.2), определение предела последовательности действительных чисел можно перефразировать следующим образом.
Точка a (конечная или бесконечно удаленнная) числовой прямой называется пределом последовательности {x_n} действительных чисел, если для любого > 0 существует такой номер , что для всех номеров n > члены x_n содержатся в окрестности U(a; ):

xn U(a; ), n > . Теоремы о пределах 1. Бесконечно большие и бесконечно малые. Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < dимеет место неравенство |f(x)| > M. limx® a=¥ 2. Функция ограниченная при x® a. 3. Функция ограниченная при x® ¥. 4. Теорема. Если limx® a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a. 5. Бесконечно малые и их свойства. limx® a a(x)=0 Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то limx® a f(x)=b и обратно, если limx® af(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x). Теорема. 2. Если limx® a a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥. Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м. Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м. 6. Теоремы о пределах. Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов. Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов. Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0). Теорема. 4. Если u(x) £ z(x) £ v(x), и limx® a u(x)=limx® a v(x)=b, то limx® a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах"). 7. Первый замечательный предел. 0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)   lim x® 0   sin(x) x =1. 8. Второй замечательный предел. Переменная величина   æ è 1+ n ö ø n     при n® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3.   · 31) Основные элементарные функции · область определения функции; · поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции); · четность и нечетность; · область значений функции; · промежутки возрастания и убывания, точки экстремума; · промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба); · наклонные и горизонтальные асимптоты; · особые точки функций; · особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций). 32)Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши.Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство | f(x) – a | < e . Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b. Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму. Указанный предел обозначается так: Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольник · 33)Первый замечательный предел: · Второй замечательный предел: 1234

 ТОП 5 статей: Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем... Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона... Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента... Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления... Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...