Краткие методические указания к решению задачи 10

Под математическим выравниванием частот эмпирического ряда в общем случае понимается замена его теоретическим рядом распределения, имеющим определенное аналитическое выражение (параметры последнего определяются по данным эмпирического ряда).

В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. Наиболее распространенными является нормальное распределение. Для того чтобы построить нормальное распределение достаточно располагать двумя статистическими характеристиками – и , расчеты которых неоднократно проводились в предшествующих задачах данной работы.

Кривая нормального распределения выражается уравнением

,

где – ордината кривой нормального распределения; , e – математические константы, = 3,1416; e = 2,7132 – основание натурального логарифма.

В этом уравнении рассматривается как функция t, т. е. каждому значению t соответствует определенное значение .

Например, если t = 0, то .

При = 1; при t = 1; .

Точечная функция затабулирована и представлена во всех учебных пособиях по теории статистики как приложение (таблица значений распределения вероятностей в случае нормального распределения).

Последовательность расчета теоретических частот по формуле кривой нормального распределения сводится к следующему:

1) рассчитывается средняя арифметическая ряда ;

2) рассчитывается среднеквадратическое отклонение σ;

3) находится нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической, т. е. ;

4) для найденных t по табл. 26 находится (теор);

5) рассчитывается константа ;

6) каждое значение (1) умножается на константу const.

Результаты умножения (после округления до целых чисел) будут искомыми частотами теоретической кривой распределения.

После выравнивания ряда, т. е. исчисления теоретических частот возникает необходимость в проверке, «случайности» или «неслучайности» расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверки правильности выдвинутой гипотезы об обоснованности нормального распределения. В этих целях рассчитываются критерии согласия:

а) Пирсона , где – «хи квадрат».

Полученные результаты расчетов значение сравнивается с табличным значением при принятом уровне значимости (0,10; 0,05; 0,01) к заданным числом степеней свободы. Число степеней свободы определяется как число групп в ряду распределения минус число параметров и минус единица K–n–1.

При определении нормального распределения используется 2 параметра – это и σ, т. е., если К = 6, то число степеней свободы определяется 6 – 2 – 1 = 3.

Если фактическое значение оказывается меньше табличного, то расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами признается случайным и распределение не отвергается (рис. 6);

б) критерий Романовского

Если значение критерия Романовского меньше 3, то можно считать расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайным;

в) критерий Колмогорова

,

где d – максимальная разность между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; n – число единиц совокупности.

При принятом уровне значимости и заданном числе степеней свободы по специальной таблице значений функции Колмогорова определяется расчетное значение критерия. Ниже представляется последовательность расчетов и их результаты (табл. 27).

В расчете использованы следующие статистические характеристики: ; ; i = 1500.

Таблица 26

Последовательность расчета теоретических частот φ

Номер	Нижние и верхние границы интервалов	Эмпирические частоты f	Серединные значения интервалов	Нормируемые отклонения	φ(t)	Теоретические частоты φ
I	3000–4500			–1,77	0,083
II	4500–6000			–1,06	0,228
III	6000–7500			–0,34	0,376
IV	7500–9000			0,37	0,372
V	9000–10500			1,09	0,220
VI	10500–12000			1,80	0,079
ИТОГО		–	–	–

Рис. 6. Эмпирические и теоретические распределения частот

Таблица 27