Лекция 9. Общий и упрощенный деформационные

Для сечения произвольной формы, при любой системе сил, действующих на сечение (M_Sd,x; M_Sd,y; N_Sd), имеющего арматуру, распределенную по сечению, расчетную систему уравнений деформационного метода в общем случае можно записать:

– условия равновесия:

(9.1)

– уравнения совместности деформации в виде гипотезы плоского сечения, определяющие их распределение по сечению

(9.2)

– физические уравнения, связывающие напряжения и деформации для бетона и арматуры в виде диаграмм деформирования для бетона и арматуры

(9.3)

При использовании деформационной расчетной модели критерием исчерпания прочности железобетонной конструкции по нормальному сечению принято условие достижения сжатым бетоном и (или) растянутой арматурой предельных значений относительных деформаций, установленных нормативными документами.

При решении указанных уравнений используют либо правила точного интегрирования, либо прибегают к численному интегрированию (суммированию) напряжений, действующих по элементарным площадкам, выделенным в пределах расчетного сечения. Наиболее распространенным считается метод численного интегрирования (суммирования), в котором бетонное сечение мысленно разбивают на отдельные малые участки площадью A_cn, как правило, прямоугольной формы, дополненные по необходимости треугольными или трапециевидными участками.

В упрощенных моделях принимают допущение о том, что напряжения s_cn в пределах каждого выделенного элементарного участка бетона постоянны и равны напряжениям на уровне его центра тяжести (рис. 9.1). Поэтому относительные деформации e_cn рассчитывают на уровне центра тяжести каждого элементарного участка. Считается, что допущение о постоянстве напряжений в пределах элементарного участка не вносит существенной погрешности в расчеты, если его размеры не превышают 1/10 соответствующего размера сечения.

Для каждого «n»-го элементарного участка бетона фиксируют его площадь A_cn и координаты центра тяжести x_n, y_n (расстояния до соответствующих осей, рис. 9.1). Каждому арматурному стержню присваивают свой номер, а также фиксируют его площадь A_sk и положение центра тяжести x_k, y_k.

Тогда обозначив M_x = (M_Sd,x + N_Sde_x), M_y = (M_Sd,y + N_Sde_y) и переходя к численному интегрированию условия равновесия могут быть записаны:

(9.4)

Учитывая то обстоятельство, что напряжения и относительные деформации на рассматриваемом уровне нагружения конструкции связаны секущим модулем деформаций, определяемым из диаграммы деформирования, можно записать:

Рис. 9.1. Разбиение поперечного сечения на элементарные участки при расчете на действие изгибающих моментов и продольных сил

(9.5)

(9.6)

где , – численные значения модуля деформаций соответственно для бетона и арматуры, определяемые из диаграммы деформирования на соответствующем уровне нагружения.

Условия равновесия с учетом этого запишутся в виде:

(9.7)

Подставив в условия равновесия сечения уравнения, описывающие распределение относительных деформаций в бетоне и арматуре, получаем:

(9.8)

Выполняя преобразования уравнений, получаем систему расчетных уравнений относительно неизвестных e_z, j_x, j_y:

(9.9)

где:

(9.10)

- осевая жесткость, зависящая от уровня нагружения и геометрических характеристик сечения;

(9.11)

- изгибно-осевая жесткость, отражающая взаимное влияние продольного сжатия (растяжения) и изгиба по направлению оси х;

(9.12)

- изгибная жесткость в направлении оси х;

(9.13)

- изгибно-осевая жесткость по направлению оси у;

(9.14)

- жесткость, отражающая взаимное влияние изгиба в направлении осей х и у;

(9.15)

- изгибная жесткость в направлении оси у.

Систему уравнений удобно решать в матричной форме:

(9.16)

– вектор-столбец усилий, вызванных действием расчетных воздействий в рассматриваемом сечении конструкции;

– вектор-столбец относительных деформаций, являющихся функцией от уровня нагружения и геометрических характеристик сечения S;

– матрица жесткостей для рассматриваемого сечения, компоненты которой, являются функцией внешних сил, геометрических характеристик сечения и корректируются в зависимости от уровня нагружения;

e_z – относительная продольная деформация (по линии продольной оси z элемента);

j_x, j_y – кривизны продольной оси элемента в плоскостях, совпадающих с осями х и у.

Систему уравнений решают итерационным методом.