Кривые повторяемости и обеспеченности

Колебания стоковых характеристик не являются функцией вре­мени и не имеют определенных закономерностей, поэтому по имею­щимся данным наблюдений за элементами гидрологического режи­ма невозможно установить хронологический ход стока на будущий запланированный период службы водохозяйственного предприятия. Невозможно и определить, когда будет наблюдаться какое-либо значение характеристики стока и сколько раз за это время рассмат­риваемая характеристика стока превысит, то или иное значение. На современном этапе знаний предстоящий сток приходится описывать в виде вероятностно-количественной оценки, отвечающей той или иной повторяемости или обеспеченности исследуемой характери­стики.

Гидрологическая информация, полученная в результате гидро­метрических измерений и наблюдений, представляет собой некото­рый временной, так называемый календарный ряд наблюдений, включающий п лет. Для иллюстрации приемов, используемых при статистической обработке гидрологических информационных дан­ных, рассматривается ряд многолетних наблюдений над какой-ли­бо переменной величиной Xi, например над средними годовыми рас­ходами (годовой сток) за период п лет. Средние годовые расходы обрабатываемого ряда наблюдений располагаются не в календар­ной последовательности, а в порядке убывания, формируя стати­стический ряд данных (без привязки к дате). Такой ряд значений характеристики за ограниченный период наблюдений рассматрива­ется как выборка (часть) из более длинного ряда {генеральной со­вокупности) , расположенного в таком же порядке. Если один и тот же расход в календарном ряду данных встречается несколько раз, его несколько раз и записывают, давая ему соответствующие по­рядковые номера.

Разность между наибольшим (х_мах) и наименьшим (x_min) зна­чениями в ряду по убыванию представляет амплитуду или варь­ирование величин в ряду. Общую амплитуду колебания исследуе­мой случайной величины (среднего годового расхода) можно раз­делить на отдельные интервалы, или градации, число которых обычно назначается в зависимости от объема рассматриваемого материала так, чтобы отразить типичные черты рассматриваемого ряда наблюдений. Для приближенной оценки числа интервалов можно использовать эмпирические формулы, например n_x^5/gn, где n_х — число интервалов; n — общее число наблюдений. Назна­ченные градации не должны перекрываться, чтобы одно и то же значение ряда не могло попасть в две градации. Если наблюдаемая величина ранжированного ряда попадает на границу градации, то

ее условно относят к большей градации. После назначения интер­валов (градаций) подсчитывается число попаданий случайной ве­личины (среднего годового расхода) в каждый интервал, при этом сумма случаев по всем градациям равна общему числу лет наблю­дений п. Число величин в каждом интервале называют абсолютной частотой. Выражая абсолютные частоты в процентах от общего чис­ла случаев, получают относительные частоты. Сумма относитель­ных частот равна 100%. Абсолютная и относительная частоты пред­ставляют повторяемость величин, попадающих в данный интервал. По значениям относительных частот можно построить график, на котором по оси ординат отложены градации расходов, а по оси абс­цисс— в виде прямоугольников относительные частоты (рис. 4.6, а).

100 р, %

Рис. 4.6. Схема построения по кривой распределения вероятностей (а) кривой обеспеченности (б)

Полученный график относительных частот называют гистограммой распределения. Гистограмма распределения рассматриваемой пере­менной величины показывает, что число членов (частота) в интер­валах увеличивается с обеих сторон по мере приближения к средне­му интервалу, т. е. увеличивается повторяемость. Напротив, наи­меньшее число членов ряда попадает в первый и последний интер­валы, что соответствует закону больших чисел, по которому чем больше отклонение какого-либо значения в данном ряду от средне­го (максимальное или минимальное значение переменной величины в ряду), тем меньше вероятность появления такой величины.

При бесконечном увеличении числа интервалов с бесконечным уменьшением каждого интервала ступенчатая гистограмма распре­деления превращается в плавную кривую распределения вероятно­стей, которую называют кривой повторяемости. Эта кривая дает наглядное представление о законе распределения случайной вели­чины и показывает частоту или повторяемость того или иного зна­чения случайной величины.

Последовательным суммированием относительных частот в пре­делах выделенных интервалов начиная от наибольшего значения получают суммарную (интегральную) кривую распределения веро­ятностей, которую называют кривой обеспеченности (рис. 4.6, б). Кривая обеспеченности показывает, какова вероятность превыше­ния (обеспеченность) данного значения статистического ряда. Итак, в результате статистической обработки исходных данных гидромет­рических наблюдений за какой-либо характеристикой получают кривую распределения вероятностей, представляющую закон рас­пределения изучаемой характеристики (частоту появления изучае­мой характеристики или повторяемость). Интеграл кривой распре­деления вероятностей позволяет получить теоретическую кривую обеспеченности.

Для статистического ряда исходных данных вероятность превы­шения или обеспеченность характеристики Р_т (%), занимающей m-е место в ряду, равна: