Особенности теоретико-множественных операций реляционной алгебры

Несмотря на то, что в основе теоретико-множественной части реляционной алгебры лежит классическая теория множеств, соответствующие операции реляционной алгебры обладают некоторыми особенностями. Начнем с операции объединения (все, что будет говориться по поводу объединения, переносится на операции пересечения и взятия разности). Смысл операции объединения в реляционной алгебре в целом остается теоретико-множественным. Но если в теории множеств операция объединения осмысленна для любых двух множеств-операндов, то в случае реляционной алгебры результатом операции объединения должно являться отношение. Если допустить в реляционной алгебре возможность теоретико-множественного объединения произвольных двух отношений (с разными схемами), то, конечно, результатом операции будет множество, но это множество, состоящее из разнотипных кортежей, т.е. оно не является отношением. Если исходить из требования замкнутости реляционной алгебры относительно понятия отношения, то такая операция объединения является бессмысленной. Все эти соображения приводят к появлению понятия совместимости отношений по типу:два отношения совместимы по типу в том и только в том случае, если они обладают одинаковыми заголовками. объединению: два отношения совместимы по объединению в том и только в том случае, когда обладают одинаковыми заголовками. Точнее, будем говорить, что два отношения совместимы по типу, если:

1. Каждое из них имеет одно и то же множество имен атрибутов.

2. Атрибуты с одинаковыми именами в обоих отношениях определены на одном и том же домене.

Если два отношения совместимы по объединению, то при обычном выполнении над ними операций объединения, пересечения и взятия разности результатом операции является отношение с корректно определенным заголовком, совпадающим с заголовком каждого из отношений-операндов. Напомним, что если два отношения "почти" совместимы по объединению, т.е. совместимы во всем, кроме имен атрибутов, то до выполнения операции типа соединения эти отношения можно сделать полностью совместимыми по объединению путем применения операции переименования.

Другие проблемы связаны с операцией взятия декартова (или прямого) произведения двух отношений. В теории множеств прямое произведение может быть получено для любых двух множеств, и элементами результирующего множества являются пары, составленные из элементов первого и второго множеств. Поскольку отношения являются множествами, то и для любых двух отношений возможно получение прямого произведения. Но результат не будет отношением! Элементами результата будут являться не кортежи, а пары кортежей. Поэтому в реляционной алгебре используется специализированная форма операции взятия прямого произведения - расширенное прямое произведение отношений. При взятии расширенного прямого произведения двух отношений элементом результирующего отношения является кортеж, являющийся конкатенацией (или слиянием) одного кортежа первого отношения и одного кортежа второго отношения. Но теперь возникает второй вопрос - как получить корректно сформированный заголовок отношения-результата? Очевидно, что проблемой может быть именование атрибутов результирующего отношения, если отношения-операнды обладают одноименными атрибутами. Эти соображения приводят к появлению понятия совместимости по взятию расширенного прямого произведения. Два отношения совместимы по взятию прямого произведения в том и только в том случае, если множества имен атрибутов этих отношений не пересекаются. Любые два отношения могут быть сделаны совместимыми по взятию прямого произведения путем применения операции переименования к одному из этих отношений. Следует заметить, что операция взятия прямого произведения не является слишком осмысленной на практике. Во-первых, мощность ее результата очень велика даже при допустимых мощностях операндов, а во-вторых, результат операции не более информативен, чем взятые в совокупности операнды. Как мы увидим немного ниже, основной смысл включения операции расширенного прямого произведения в состав реляционной алгебры состоит в том, что на ее основе определяется действительно полезная операция соединения. По поводу теоретико-множественных операций реляционной алгебры следует еще заметить, что

· все четыре операции являются ассоциативными. Т.е., если обозначить через OP любую из четырех операций, то

(A OP B) OP C = A ОР (B OP C)

(A, B и C - отношения, обладающие свойствами, требуемыми для корректного выполнения соответствующей операции),

· все операции, кроме взятия разности, являются коммутативными, то есть,

A OP B = B OP A.

1. Объединение. Объединением двух совместимых по типу отношений S и P

(S UNION P)

называется отношение с тем же заголовком, что и у исходных отношений, и с телом, состоящим из множества всех кортежей, принадлежащих S или P, или обоим отношениям.

Пример 1. Пусть заданы два отношения

S

P

Пусть отношение S содержит сведения о поставщиках, проживающих в Томске, а отношение P – о поставщиках одного товара, например, "Труба". Тогда отношение

S UNION P

будет содержать сведения о поставщиках, проживающих в Томске, либо поставляющих товар "Труба":

2. Пересечение. Пересечением двух совместимых по типу отношений S и P

(S INTERSECT P)

называется отношение с тем же заголовком, что и у исходных отношений, и с телом, состоящим из множества кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям.

Результирующее отношение в условиях Примера 1. включает сведения о поставщиках из Томска, поставляющих товар "Труба":

3. Вычитание. Вычитанием двух совместимых по типу отношений S и P

(S MINUS P)

называется отношение с тем же заголовком, что и у исходных отношений, и с телом, состоящим из множества кортежей, принадлежащих отношению S и не принадлежащих отношению P.

Результирующее отношение в условиях Примера 1. включает сведения о поставщиках из Томска, не поставляющих товар "Труба":

Очевидно, что отношение (P MINUS S) содержит сведения о поставщиках товара "Труба", не проживающих в Томске.

4. Декартово произведение. Декартово произведение двух не имеющих общих именотношений S и P (S TIMES P)определяется как отношение с заголовком, который представляет собой сцепление исходных заголовков, и телом, состоящим из множества всех кортежей таких, что каждый кортеж получается конкатенацией некоторого кортежа отношения S с некоторым кортежем отношения P. Очевидно, что количество кортежей результирующего отношения равно произведению количества кортежей отношений S и P.

Пример 2. Пусть отношения S (поставщики) и P (товары) имеют вид:

S

P

В результирующем отношении (S TIMES P) фиксируется тот факт, что каждый из поставщиков поставляет все товары: