Ортогональные системы векторов

Определение 8.17. Система ненулевых векторов `a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a_k называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Теорема 8.7. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Матрицы

Определение 8.18. Прямоугольная таблица чисел вида

называется прямоугольной матрицей размера m ´ n, где m — количество строк, а n — количество столбцов.

Определение 8.19. Числа, которые образуют матрицу, — a_ij, где называются элементами матрицы.

Определение 8.20. Числа i и j называются индексами элемента a_ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j — в каком столбце находится этот элемент.

Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица размера m ´ 1 называется матрицей — столбцом.

Матрица размера 1 ´ n называется матрицей — строкой.

(a₁₁, a₁₂, ..., a_1n)_1´x.

Определение 8.21. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

Определение 8.22. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.

Определение 8.23. Диагональная матрица n-го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается Е.

Определение 8.24. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.

Примеры.

Операции над матрицами

Определение 8.25. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается А^Т.

Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.

Определение 8.26. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.

A_m´n ± B_m´n = C_m´n, c_ij ± b_ij, .

Определение 8.27. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число.

k · A_m´n = C_m´n, c_ij = ka_ij, .

Пример 8.7.

Определение 8.28. Произведением двух матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С, у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.

A_m´p · B_m´p = C_m´n, c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j +...+ a_ip · b_pj, .

Пример 8.8.

Умножить В на А нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Пример 8.9.

В · С≠С · В. Произведение матриц не коммутативно!

Пример 8.10.

А · Е = Е · А = А.

Приведем основные свойства операций над матрицами.

Определители

Пусть дана квадратная матрица порядка n:

Определение 8.29. Определителем n-го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком «+» или «-».

Пример 8.11.

Определитель второго порядка. n = 2, 2! = 1 · 2 = 2 слагаемых.

Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:

слагаемое со знаком «-», слагаемое со знаком «+».

Пример 8.12.

Определитель третьего порядка. n = 3, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 слагаемых,

Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:

слагаемые со знаком «+», слагаемые со знаком «-».

Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше, чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определителей.

Свойства определителей

Теорема 8.8. При транспонировании величина определителя не меняется.

Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т. е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.

Теорема 8.9. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.

Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.

Теорема 8.10. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.

Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.

Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

Теорема 8.11. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т. д.

Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.

Теорема 8.12. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дана прямоугольная матрица А размера m ´ n.

Определение 8.30. Минором порядка k данной матрицы, где k ≤ min(m; n), называется определитель k-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m - k) строк и (n - k) столбцов.

Пример 8.13.

Определение 8.31. Дополнительным минором M_ij к элементу a_ij квадратной матрицы A_n´n называется определитель (n - 1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.

Пример 8.14.

Определение 8.32. Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij квадратной матрицы A_n´n называется число A_ij = (-1)^i+j ´ M_ij.

Пример 8.15. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a₃₃.

Теорема 8.13.Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

‌ A ‌ = a_i1 · A_i1 + a_i2 · A_i2 +...+ a_in · A_in — разложение определителя по i-й строке.

Теорема 8.14.Сумма попарных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю.

Вычисление определителей порядка n > 3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теорем 8.12 и 8.13.

Пример 8.16.

разложение определителя по первому столбцу

Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют теорему 8.12. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками.

Обратная матрица

Определение 8.33. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной — в противном случае.

Определение 8.34. Матрица А^-1 называется обратной к квадратной матрице А n-го порядка, если А · А^-1 = А^-1 · А = Е.

Теорема 8.15. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Доказательство. 1 часть (единственность).

Предположим, что обратная матрица существует. Докажем, что она единственная. Предположим противное, т. е. существует две обратные матрицы: А^-1 и .

Тогда А · А^-1 = А^-1 · А = Е и А · = · А = Е.

Рассмотрим равенство

А · А^-1 = Е.

Умножим его слева на .

· А · А^-1 = · ·Е,

Е · А^-1 = ,

А^-1 = .

Получили противоречие.

2 часть (существование). Дана матрица

Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:

1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:

— матрица, присоединенная к матрице А;

2) транспонируем полученную матрицу:

3) разделим все элементы на число ‌ А ‌

Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на А^-1. Элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы произведения, будет равен

Элементы матрицы—результата совпадают с элементами единичной матрицы Е. Следовательно, А · А^-1 = Е, т. е. А^-1 — обратная матрица к А.

Таким образом, для произвольной невырожденной матрицы можно построить обратную матрицу и, следовательно, обратная матрица существует. Теорема полностью доказана.