Линейная модель многоотраслевой экономики

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

x_i — общий объем продукции i-й отрасли;

x_ij — объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции x_i;

y_i — объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид

x_i = x_i1 + x_i2 + ... + x_in + y_i, i = 1, 2,...n.

Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.

В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины а_ij = x_ij / x_j меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема x_j есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-й отрасли объема x_j нужно использовать продукцию i-й отрасли объема a_ijx_i, где a_ij — постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа a_ij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности

x_ij = a_ijx_j, i,j = 1, 2,...n.

Соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений

Тогда система уравнений в матричной форме имеет вид

`x = A`x + `y

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом (наиболее простом) случае, когда известен вектор валового выпуска `x, требуется рассчитать вектор конечного потребления `y. Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода Т (например, год) известен вектор конечного потребления `y, требуется определить вектор `x валового выпуска.

Линейная модель торговли

Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х₁, х₂, …, х_n, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.

Пусть а_ij — доля бюджета х_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij:

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство

Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

P_i = a_i1x₁ + a_i2x₂ +...+ a_inx_n

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т. е. P_i ≥ x_i, или

a_i1x₁ + a_i2x₂ +...+ a_inx_n ≥ x_i, i = 1, 2, ..., n.

Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов x_j, получаем

x₁(a₁₁ + a₂₁ +...+ a_n1) + x₂(a₁₂ + a₂₂ +...+ a_n2) +...
(a_1n + a_2n +...+ a_nn) ≥ x₁ + x₂ +...+ x_n.

Нетрудно заметить, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство

x₁ + x₂ +...+ x_n ≥ x₁ + x₂ +...+ x_n,

откуда следует, что возможен только знак равенства.

Таким образом, условия принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов `x, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

A`x = `x

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению λ = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить `x:

(A - E)`x =.

Пример 8.28. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6270

Решение. Необходимо найти собственный вектор `x, отвечающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицы А, т. е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора `x:

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину с:

с = 1210.

Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле:

x₁ = 1400, x₂ = 1460, x₃ = 2200, x₄ = 1210.

Примеры решения задач к главе 8

Линейная алгебра

Задача П1. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричной форме A`x = B, где

Найдем обратную матрицу к матрице А. Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее левую часть к единичной матрице.

Возьмем третью строку. Сложим ее со второй строкой и сложим с первой строкой, умножив на (-3).

умножим первую строку на (-1):

возьмем первую строку. Умножим ее на (-2), сложим со второй строкой и сложим с третьей строкой, умножив первую строку на (-1):

разделим вторую строку на (4)

возьмем вторую строку. Умножим ее на 2 и сложим с первой строкой и сложим с третьей строкой, умножив вторую строку на (-1):

переставим две последние строки:

В левой части расширенной матрицы получена единичная матрица, следовательно, в правой части получена обратная матрица.

Найдем решение системы.

Задача П2. Даны две системы векторов:

`a<sub>1</sub>(6,1,2), `a₂(-1,2,1), `a₃(3, -1,1);

`b<sub>1</sub>(1,2, -3), `b₂(-1,0,5), `b₃(0,2,2).

Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора `c(8,2,4) в этом базисе с помощью формул Крамера.

Решение. Составим матрицу из координат векторов первой системы и найдем ее ранг. Для этого приведем ее к треугольному виду.

переставим первые две строки

умножим первую строку на 6 и сложим со второй, умножим первую строку на 3 и сложим с третьей строкой

разделим вторую строку на 13

умножим вторую строку на (-5) и сложим с третьей

Ранг системы векторов равен 3. Векторы линейно независимы и поскольку их три и они трехмерные, то они образуют базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства можно разложить по векторам этой системы.

`c = c<sub>1</sub>`a₁ + c₂`a<sub>2</sub> + c<sub>2</sub>`a₂.

Найдем координаты разложения. Подставим координаты векторов в последнее равенство.

(8,2,4) = с₁(6,1,2) + с₂(-1,2,1) + с₃(3, -1,1),

(8,2,4) = (6с₁ - с₂ + 3с₃ , с₁ + 2с₂ - с₃ , 2с₁ + с₂ + с₃).

Так как векторы равны, то равны их координаты.

Получена система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим ее методом Крамера. Найдем главный определитель системы.

Система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители. Они получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

Выпишем решение системы.

Разложение вектора `c(8, 2, 4) в данном базисе имеет вид

`c = `a₁ + `a<sub>2</sub> + `a₃.

Найдем ранг второй системы векторов. Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к треугольному виду.

прибавим первую строку ко второй

умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей

Ранг системы векторов равен 2. Векторы линейно зависимы и они не образуют базиса в трехмерном пространстве.

Задача П3. Найти базисное неотрицательное решение системы

и сделать переход к другому неотрицательному базисному решению. Выписать общее решение системы.

Решение. 1. Заполняем исходную таблицу. Умножаем третье уравнение на (-1).

2. Выбираем ключевой столбец, например второй, т.е. вводим в базис переменную x₂.

3. Выбираем ключевую строку, для этого найдем

следовательно, третья строка будет ключевой.

Заполняем вторую таблицу.

1. Ключевую строку делим на ключевой элемент, равный единице, следовательно, строка перепишется без изменения.

2. Ключевой столбец заполняем нулями.

3. В ключевой строке были нулевые элементы, следовательно, первый и пятый столбцы переписываются без изменения.

4. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника:

Возьмем пятый столбец ключевым, т.е. введем в базис переменную х₅, тогда любую из этих двух строк можно брать ключевой, например, первую.

Заполняем третью таблицу:

Введем в базис переменную х₄, тогда т. е. ключевой строкой будет вторая строка.

Заполняем четвертую таблицу.

1. Ключевую строку делим на 2.
2. Ключевой столбец заполняем нулями.
3. Перепишем без изменения второй, пятый и последний столбцы.
4. Остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

Система приведена к единичному базису. Выпишем общее решение системы.

Выпишем из таблицы опорное решение `X_1απ = {0; 2; 0; 0; 3}. Найдем второе опорное решение, для этого введем в базис одну из свободных переменных, например х₁. Ключевой строкой будет первая строка, так как в столбце единственный положительный элемент — 9.

Заполняем пятую таблицу:

Выпишем из таблицы второе опорное решение

Задача П4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Найдем собственные значения матрицы. Составим характеристическое уравнение для матрицы А.

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = 1. Для этого решим векторное уравнение

A`x = λ`x

Так как эти векторы равны, то равны их координаты.

Оба эти уравнения эквивалентны уравнению

2x₁ + x₂ = 0.

Возьмем х₁ = с, тогда х₂ = -2с. Таким образом, получен собственный вектор, `x₁ = (c, -2c), соответствующий собственному значению λ = 1.

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = 7. Для этого решим векторное уравнение

A`x = λ`x

Так как эти векторы равны, то равны их координаты.

Оба эти уравнения эквивалентны уравнению

x₁ - x₂ = 0.

Возьмем х₂ = с, тогда х₁ = с. Таким образом, получен собственный вектор `x₂ = (c,c), соответствующий собственному значению λ = 7.