Решение системы с помощью формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема 8.22. (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (‌ A ‌ ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

где Δ = ‌ A ‌ — главный определитель,

Δ_j — j-й вспомогательный определитель, который получен из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными справедливы свойства:

• если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет;
• если главный определитель и оба вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пусть дана неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными

Ее можно представить в матричном виде A`x = B.

Пусть определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение. Если ‌ A ‌ ≠ 0, то матрица А имеет обратную матрицу А^-1. Умножим обе части равенства A`x = B слева на А^-1.

A^-1 · A · `x = A^-1 · B,

E · `x = A^-1 · B,

`x = A^-1 · B.

Чтобы найти решение системы, надо найти обратную матрицу к матрице, составленной из коэффициентов при неизвестных, и умножить ее справа на матрицу—столбец свободных членов В.

Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений

Пусть дана неоднородная система m линейных уравнений с n неизвестными

Предположим, что система совместна, т. е. r(A) = r(`A) = r ≤ min(m; n). Следовательно, существует минор порядка r матрицы А, отличный от нуля. Предположим, что он расположен в левом верхнем углу матрицы. Если это не так, то можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные.

Первые r уравнений системы линейно независимы. Остальные выражаются через них. Следовательно, их можно отбросить.

Определение 8.45.Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными (x₁, x₂, …, x_r). Остальные переменные x_r + 1, …, x_n называются свободными.

Дадим свободным переменным произвольные числовые значения x_r + 1 = с_r + 1, x_r + 2 = с_r + 2, …, x_n = c_n.

Запишем систему в виде

Мы получили систему из r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Она имеет единственное решение.

Определение 8.46. Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы.

Определение 8.47.Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением. Частных решений у системы бесконечно много, все они содержатся в общем решении.

Определение 8.48. Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны нулю, называется базисным решением системы.

Определение 8.49. Базисное решение, координаты которого неотрицательны, называется опорным решением системы.

Переменные х₁ и х₂ — базисные, х₃ и х₄ — свободные.

Сложим уравнения и результат разделим на 2. Вычтем из второго уравнения первое и результат разделим на 2. Получим

— общее решение.

Из него можно получить частные и базисное решения.

— частное решение, полученное при х₃ = 2 и х₄ = 1.

— базисное решение при х₃ = х₄ = 0. Оно же является опорным.

Метод Гаусса

Определение 8.50. Элементарными преобразованиями системы называются:

1. 1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2. 2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3. 3) перестановка двух уравнений;
4. 4) отбрасывание уравнения 0 = 0.

Если получено уравнение 0 = k, то система несовместна.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Пример 8.22.

Получено решение системы `x(3, 2, 1).

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице.

Пример 8.23. Рассмотрим систему из предыдущего примера. Составим расширенную матрицу:

Получено решение системы `x(3, 2, 1).

Таблицы Гаусса

Расширенную матрицу системы записывают в таблицу Гаусса, которая имеет на два столбца больше, чем число неизвестных. Расширенные матрицы располагаются в таблице одна под другой. От одной матрицы к другой переходят с помощью преобразований Жордана:

1. 1) выбирается ключевой элемент преобразования. В качестве ключевого элемента может быть взят любой коэффициент при любой переменной, не равный нулю. Строка и столбец, в которых он располагается, называются ключевыми;
2. 2) элементы ключевой строки делятся на ключевой элемент;
3. 3) ключевой столбец заполняется нулями;
4. 4) остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника: составляется прямоугольник, в двух вершинах которого находится ключевой элемент (к. э.) и пересчитываемый элемент (п. э.); из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитается произведение элементов второй диагонали и полученная разность делится на ключевой элемент.

Если в ключевой строке (столбце) есть ноль, то соответствующий столбец (строка) при преобразовании Жордана сохраняются.

Пример 8.24.

Выпишем расширенную матрицу системы в таблицу Гаусса.

Третье уравнение является линейной комбинацией двух других уравнений, его можно отбросить, r = 2. Выпишем систему, соответствующую последней расширенной матрице.

Переменные x₁ и x₄ — базисные, x₂ и x₃ — свободные.

Из него можно получить бесконечно много частных решений.

Из последней таблицы Гаусса можно выписать базисное решение:

Количество базисных решений будет равно количеству базисов, которые можно составить из четырех переменных x₁, x₂, x₃, x₄ по две в каждом базисе. Это количество равно . Возможные базисы:

x₁x₂ x₂x₃

x₁x₃ x₂x₄

x₁x₄ x₃x₄

Чтобы получить другие базисные решения, необходимо привести систему к другому единичному базису. Выполняют операцию однократного замещения. Для этого в базис вводят одну из свободных переменных вместо одной из базисных. Выбирают ключевой элемент в столбце свободной переменной и выполняют преобразование Жордана. Выберем в последней таблице в качестве ключевого элемента коэффициент 4 при свободной переменной x₃.

Переменные x₃ и x₄ — базисные, x₂ и x₁ — свободные. Получаем другое базисное решение: `x_баз2 (0, 0, 2, 0) — оно же является опорным решением.