Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ

Во всякой реальной колеблющейся системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не выполняется за счет внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. В этом случае система (например, пружинный маятник), будучи выведена внешними силами из положения равновесия в дальнейшем представлена самой себе, будет находиться под действием упругой или квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Если ограничиться рассмотрением случая малых колебаний, то скорость системы будет малой и сила сопротивления среды прямо пропорциональна величине скорости:

(1)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «минус» обусловлен тем, что f2 и скорость J имеют противоположные направления:

.

Тогда с учетом (1) для колеблющегося тела можно написать уравнение 2-го закона Ньютона:

(2)

где m – масса тела; х – его смещение от положения равновесия, k – коэффициент возвращающей силы (жесткость пружины);

Уравнение (2) перепишем в следующем виде:

(3)

где …(4) называется коэффициентом затухания, (5)

В (5) величина w0 представляет собой ту частоту, с которой совершились бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды (r =0). Эту частоту w0 называют собственной частотой колебания системы.

Уравнения (2) и (3) есть уравнения затухающих колебаний. Решение уравнения (3) будем искать в виде:

(6)

где U=U(t), т.е. U – есть некоторая функция от времени t. Найдем ее в виде функции U. Для этого продифференцируем (6) по t и определим и :

(7)

(8)

 

Подставив и из (7) и (8) в (3), получим:



(9)

Рассмотрим случай, когда коэффициент w02-d2>0.

Введем обозначение: (10)

Тогда (9) примет вид:

(11)

Решением этого уравнения является функция

(12)

где w - частота колебаний системы при r ¹0,

j0 – начальная фаза колебаний; А0 – начальная амплитуда колебаний.

Подставив U из (12) в (6), получим в случае малого сопротивления среды (d2<w02) решение уравнения (3):

(13)

Для простоты положим j0=0. Тогда (13) примет вид:

(14)

 

 

Рис. 1.

 

График этой функции представлен на рис.1. пунктирными линиями указаны пределы, в которых находится смещение х колеблющейся точки. В соответствии с видом функции (13) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону

(15)

Найдем время, за которое амплитуда уменьшится в е раз. Так как , то по условию должно быть: dt =1 или . Следовательно, коэффициент затухания , показывающий скорость затухания колебаний, обратен тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз. Согласно, формуле (10) период затухающих колебаний равен:

 

(16)

При незначительном сопротивлении среды (d2<<w02) период колебаний практически равен Периодом колебания в данном случае называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями колеблющегося тела через положение равновесия в одном и том же направлении.

Из формул (4) и (16) следует, что с увеличением коэффициента сопротивления среды r, а. следовательно, и с увеличением коэффициента затухания d рериод затухающих колебаний возрастает.

Обычно затухание колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания. Для нахождения этой величины вычислим отношение амплитуд, отстоящих друг от друга во времени на один период. Согласно (14) будем иметь:

; .

Тогда (17)

Натуральный логарифм выражения (17) называется логарифмическим декрементом затухания. Обозначим эту величину через D. Тогда (18)

Но тогда (19)

Таким образом, логарифмическим декрементом затухания называется величина, численно равная натуральному логарифму отношения амплитуд, отстоящих друг от друга на один период. Эта величина прямо пропорциональна массе колеблющегося тела (или системы). Из (19) следует, что при постоянной и массе тела, совершающего затухающие колебания, логарифмический декремент затухания будет возрастать с увеличением коэффициента сопротивления среды (период колебаний Т0 при этом так же возрастает).

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.