Алгоритм решения задач динамического программирования.

Определяем все состояния системы при переходе из начального состояния в конечное состояние . На каждом шаге целевые функции имеют вид: и определено уравнение состояния: Из уравнения Беллмана для по находим оптимальное управление на ом шаге По и определяем состояние системы после го шага: Из уравнения Беллмана для находим оптимальное управление на ом шаге По и определяем состояние системы после го шага: и так далее. Условно этот процесс можно представить в виде:

Контрольное задание №4.

Предприятие планирует открыть филиалы в городах A,B и C для чего выделяются средства в размере 5 млн. руб. По расчетам экономистов, каждый филиал при инвестировании в него х тыс. руб. приносит прибыль φ_i(х) тыс.руб. Эти данные приведены в таблице. Необходимо выбрать оптимальное распределение выделенных средств между филиалами, обеспечивающее максимальную прибыльность всего проекта.

Тема 5. Элементы теории игр

На практике часто встречаются ситуации, когда приходится принимать решение в условиях конфликта интересов нескольких участников события. Такие ситуации возникают, например, в карточных играх, шахматах и т.п. В экономике конфликтные ситуации возникают при взаимодействии покупателя и продавца, банка и клиента, поставщика и потребителя и т.д. Особенностью подобных ситуаций является неопределенность, вызванная неизвестным заранее поведением участников конфликта, которые стремятся добиться максимальной реализации своих целей. Математическим описанием конфликтных ситуаций теория игр. Её целью является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.

Всякая математическая модель социально-экономического явления или конфликта должна выражать присущие ему черты, т.е. по крайней мере, отражать следующие его компоненты:

а) заинтересованность сторон;

б) возможные действия каждой из сторон;

в) интересы сторон.

Заинтересованные стороны будем называть игроками или лицами, а множество всех игроков будем обозначать через . Ограничимся рассмотрением случая, когда множество конечно. Не нарушая общности будем считать, что

Любое возможное для игрока действие называется его стратегией.

Множество всех стратегий игрока обозначим через . В условиях конфликта каждый игрок выбирает некоторую свою стратегию в результате чего складывается набор стратегий называемый ситуацией. Множество всех ситуаций обозначим .

Заинтересованность игроков выражается в том, что каждому игроку в той или иной ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышем игрока в ситуации и обозначается через . Величина называется функцией выигрыша игрока и обычно является действительным числом.

В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком его стратегии и в получении им в сложившейся ситуации из некоторого источника выигрыша Таким образом множество игроков, их стратегий и их функций выигрыша полностью описывают некоторую игру , что формально записывают так

(1)

ОпределениеИгрой называется действительный или формальный конфликт, в котором имеется, по крайней мере, два игрока, каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Игра как процесс представляет собой многократно повторяющийся выбор игроками своих стратегий, т.е. игру следует считать не как однократный обмен ходами, а как постоянно или, по крайней мере, многократно, осуществляемый процесс.

ОпределениеИгра называется игрой с нулевой суммой, если сумма всех платежей равна нулю, т.е. если сумма проигрышей проигравших игроков равна сумме выигрышей остальных игроков из множества .

Вообще говоря, оценка игроком ситуации путем указания выигрыша не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, более широкая, чем теория игр с выигрышами. В дальнейшем будем рассматривать только теорию игр с выигрышами.

Все игры можно разделить на два типа: коалиционные и бескоалиционные. Коалицией называют любое подмножество множества . Игра, в которой действия игроков некоторой коалиции направлены на максимизацию выигрыша всей коалиции без последующего его разделения между игроками коалиции и называются коалиционными. В бескоалиционной игре целью каждого участника является получение по возможности большего индивидуального выигрыша. Существует специальная теория коалиционных игр называемая кооперативной теорией.

Среди всех бескоалиционных игр с нулевой суммой естественным образом выделяется класс антагонистических игр, в которых число игроков равно двум, а значения их функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

Для сокращения обозначений, множества стратегий игроков 1 и 2 антагонистической игре будем обозначать через и , а функция выигрыша - через

Для антагонистических игр с двумя игроками вводится следующее определение.

ОпределениеПусть каждой стратегии 1-го игрока взаимнооднозначно поставлена в соответствие строка некоторой матрицы , а каждой стратегии 2-го игрока взаимнооднозначно поставлен в соответствие столбец этой матрицы. Матрицу называют платежной матрицей (или матрицей игры), если её элемент равен выигрышу 1-го игрока (т.е. проигрышу 2-го) при выборе 1-м игроком -й стратегии, а 2-м - -й.

Следовательно, антагонистическая игра полностью описывается единственной платёжной матрицей и в соответствии с этим называется матричной.

Теория игр как математическая дисциплина в ее современном состоянии занимается нормативным изучением игр, т.е. считает своей задачей установить какое поведение игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным).

Оптимальность стратегии очевидно можно понимать по-разному, т.е. понятия оптимальности в теории игр и оптимального решения игры не являются однозначными, априорными, абсолютными. Вместе с тем эти понятия являются объективными, т.е. каждый вариант оптимальности поддается точному описанию при помощи математических формулировок. Тем самым различные содержательные представления об оптимальности могут приводить к отличающимся математическим моделям.

Основными содержательными чертами оптимальности в применении к исходу или к множеству исходов конфликта можно считать интуитивные представления о выгодности и справедливости.

Можно, например, оптимальной ситуацией считать такую, в которой одновременно достигают своих максимумов функции выигрыша каждого из игроков. Условие оптимальности в этом смысле для ситуации для игры (1) формально можно записать как

для любых (2)

Выгодность такой ситуации очевидна.

Нетрудно видеть, однако, что существование в бескоалиционной игре ситуаций, оптимальных в только что описанном смысле, является сравнительно редким исключением (как и любое совпадение максимумов нескольких функций). В сущности, реализуемость этого принципа оптимальности соответствует слабости конфликтных черт моделируемого явления, близости целей его участников.

Поэтому естественно поискать другие представления об оптимальности, быть может, не столь бесспорные, но зато более часто реализуемые.

Одной из наиболее плодотворных форм реализации представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, состоящее в следующем.

ОпределениеСитуация называется равновесной, если ни один из игроков не заинтересован в том, чтобы ее нарушить, т.е. отклониться от нее.

Если игра является антагонистической, то равновесная ситуация имеет вид и формально для равновесной ситуации можно записать

(3)

при любых Уже из того, что в (3) используется не строгое неравенство «меньше или равно » следует, что равновесных ситуаций может быть несколько.

ОпределениеВ случае антагонистической игры ситуация равновесия называется седловой точкой. Оказывается, что функция выигрыша игры во всех ее седловых точках принимает одно и то же значение, которое называется ценой игры (или значением игры).

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками. Всякая попытка зафиксировать в договоре неравновесную ситуацию будет означать, что хотя бы у одной из договаривающихся сторон найдется такая стратегия, что выбор ее вместо предусмотренной договором увеличит выигрыш этого игрока. Тем самым возникают мотивы к нарушению договора.

Обычно именно равновесные стратегии считают оптимальными и называют их решением игры.

Принцип оптимальности в бескоалиционной игре, состоящий в осуществлении игроками ее ситуаций равновесия, является более слабым и чаще реализуемым, чем принцип выражаемый соотношением (2). Однако равновесные ситуации определяемые соотношением (2) так же существуют не для всякой игры.

Оказывается из этой ситуации также можно попытаться найти выход. При отсутствии в игре ситуаций равновесия, при использовании игроками единственной стратегии (из имеющихся у каждого из них множества), естественно поставить вопрос о расширении понятия стратегии таким образом, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, обобщенных стратегий все же могли бы найтись равновесные.

ОпределениеЭлементы множества и называют чистыми стратегиями игроков.

ОпределениеВектор каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока.

Из сформулированного определения непосредственно следует, что сумма компонент указанного вектора равна единице, а сами компоненты не отрицательны. Очевидно так же, что чистую стратегию можно рассматривать как частный случай смешанной.

Удобной интерпретацией смешанной стратегии является ее представление как случайного выбора игроком своих чистых стратегий в соответствии с вероятностями задаваемыми относительными частотами (вспомним «классическое определение вероятности события»). Причем выборы игроков независимы, а выигрыш в ситуации в смешанных стратегиях определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.

Математиком А. Вальдом был сформулирован принцип суть которого состоит в том, что при принятии решения в условиях неопределенности разумно исходить из того, что сложится наименее благоприятная ситуация. Исходя из этого принципа игрок 1 может рассуждать следующим образом:

«Предположим, что я выберу -ю стратегию, тогда в худшем для меня случае я получу выигрыш величиной

где -количество строк в матрице игры, т.е. количество чистых стратегий 2-го игрока. Тогда я должен выбрать такую строку, т.е. -ю стратегию ( - количество столбцов в матрице игры), при которой этот минимум максимальный».

Определение.Число называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.

ОпределениеЧисло называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) - минимаксной.

ТеоремаНижняя цена игры не превосходит верхней цены игры.

Если для некоторой игры верхняя и нижняя цены равны, т.е. выполняется , или что то же самое

где - соответствующий элемент матрицы игры, то очевидно для этого элемента выполняется неравенство Сравнивая это неравенство с (3) видим, что оказывается ситуация является равновесной, т.е. оптимальной, т.е. решением игры. Величина при этом, очевидно, является ценой игры, т.е. рассматриваемые принципы максимина и минимакса приводят к оптимальному и равновесному состоянию. Это еще раз свидетельствует об обоснованности их использования при принятии решений.

ОпределениеИгра, для которой называется игрой с седловой точкой.

Игра, заданная некоторой матрицей, может не иметь седловой точки.

Следовательно, минимакс и максимин не совпадают, т.е. положения равновесия в чистых стратегиях не существует.

Если среди чистых стратегий решения игры нет, то для его нахождения используются смешанные стратегии. Справедлива теорема.

Теорема Неймана(основная теорема теории игр)Каждая конечная игра имеет,по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно среди смешанных стратегий.

При этом если - платежная матрица, - оптимальная смешанная стратегия первого игрока, a - второго, то число

является ценой игры.

Определение.Если чистая стратегия входит в смешанную с ненулевой вероятностью, то она называется активной

Активные стратегии обладают свойством, выражаемым следующей теоремой.

Теорема(об активных стратегиях) Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Контрольное задание №5

Вариант № 1.

ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 315 руб., мужских туфель – 180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 430 и 240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1500 ботинок и 2100 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1900 ботинок и 1700 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых ООО «Скороход», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 2.

ООО «Уют» производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 1675 руб., пылесоса – 720 руб., а цена реализации равна соответственно 2160 и 940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 450 холодильников и 1200 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 340 холодильников и 1400 пылесосов. ООО «Уют» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить ООО «Уют», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 3.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 18240 руб., детского гарнитура – 9680 руб., а цена реализации равна соответственно 21470 и 12340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 18 жилых комнат и 12 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 16 жилых комнат и 14 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 4.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 2640 руб., посудомоечной – 1480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 3670 и 1750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 160 стиральных и 120 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 130 стиральных и 150 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 5.

ООО «Вихрь» производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12860 руб., мопеда – 7400 руб., а цена реализации соответственно равна 15200 и 9600 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С ООО «Вихрь» может реализовать в течение месяца 700 мотоциклов и 1240 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 820 мотоциклов и 1070 мопедов. ООО «Вихрь» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить ООО «Вихрь», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 6.

ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 1315 руб., мужских туфель – 1180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 1430 и 1240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1300 ботинок и 1900 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1700 ботинок и 1500 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых ООО «Скороход», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 7.

ООО «Уют» производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 11675 руб., пылесоса – 1720 руб., а цена реализации равна соответственно 15600 и 2940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 400 холодильников и 1100 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 300 холодильников и 1300 пылесосов. ООО «Уют» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить ООО «Уют», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 8.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 28240 руб., детского гарнитура – 13680 руб., а цена реализации равна соответственно 33470 и 16340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 16 жилых комнат и 10 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 14 жилых комнат и 12 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 9.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 12640 руб., посудомоечной – 11480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 15670 и 13750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 180 стиральных и 140 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 150 стиральных и 170 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 10.

ООО «Вихрь» производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12900 руб., мопеда – 7440 руб., а цена реализации соответственно равна 15300 и 9800 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С ООО «Вихрь» может реализовать в течение месяца 500 мотоциклов и 1040 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 620 мотоциклов и 870 мопедов. ООО «Вихрь» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить ООО «Вихрь», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Тема 6 Сетевые модели планирования и управления

Сетевой моделью (сетевым графиком, сетью) называется экономико-компьютерная модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи.

Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет,

во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и

во-вторых, определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ.

Таким образом, методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений, что оправдывает рассмотрение этого типа моделей в данной курсовой работе.

В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ).

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п.

Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основным понятия сетевой модели являются:

· событие,

· работа

· путь.

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел , где i - номер события, из которого работа выходит, а j - номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность . Например, запись означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 4 единиц времени.

К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками.

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении сетевая модель изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер

В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят.

Путём называется цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются и др.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают , а его продолжительность - . Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.

Перед расчетом СМ необходимо убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям:

1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы справедливо неравенство .

2. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), т. е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа;

3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа;

4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим.

Только после выполнении всех указанных требований можно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути.