Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість

Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.

При поширенні декількох хвиль в лінійному середовищі, тобто середовищі де властивості хвиль не змінюються під дією різних збурень, створюваних хвилями, кожна з них поширюється так, начебто інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинок середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які одержують частинки, беручи участь у кожному окремому хвильовому процесі.

Виходячи з принципу суперпозиції будь-яка хвиля може бути подана у вигляді системи синусоїдальних хвиль, тобто у вигляді хвильового пакета, або групи хвиль.

Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотою, і займають в кожен момент часу обмежену область простору.

«Виготовимо» найпростіший хвильовий пакет із двох хвиль, які поширюються уздовж осі х з однаковими амплітудами і близькими частотами і відповідно хвильовими числами. Нехай і .Тоді

(1)

Хвиля (1) не є синусоїдальною, тому що її амплітуда повільно змінюється в залежності від координати х і часу t

. (2)

За швидкість поширення цієї не синусоїдальної хвилі (хвильового пакета) приймають швидкість переміщення максимуму амплітуди хвилі, вважаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, коли , одержимо

(3)

Швидкість u є груповою швидкістю.Її можна визначити як швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен момент часу локалізований у просторі хвильовий пакет.

Знайдемо зв’язок між груповою й фазовою швидкостями хвиль. У формулу (3) підставимо значення циклічної частоти ω, вираженої черезхвильове число к і фазову швидкість υ, тобто

або

(4)

При виведенні (4) враховано що і .

Аналізуючи формулу (4) можна зробити висновок, що групова швидкість може бути і меншою і більшою фазової швидкості. Все залежить від знаку похідної .

У середовищі, в якому фазова швидкість не залежить від довжини хвилі, групова швидкість збігається з фазовою швидкістю.

Поняття групової швидкості дуже важливе, тому що саме вона фігурує при вимірюванні дальності в радіолокації, у системах керування космічними об'єктами і т.д. У теорії відносності доводиться, що групова швидкість , у той час як для фазової швидкості обмежень не існує.

Інтерференція хвиль

Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов'язується з поняттям когерентності.

Дві хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі.

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладення двох плоских хвиль, які випромінюються точковими джерелами S₁ і S₂ (рис.1) з амплітудами А₁ і А₂ , частотами ω₁ і ω₂, хвильовими числами к₁ і к₂.

Точкові джерела S₁ і S₂ випромінюють в напрямі точки М плоскі хвилі, рівняння яких мають вигляд

(5)

де r₁ і r₂ – відстані від джерел хвиль до точки М;

к₁ і к₂ – хвильові числа;

φ₁ і φ₂ – початкові фази обох хвиль;

ω₁ і ω₂ – циклічні частоти хвиль.

Рис. 1

Результуючу амплітуду при накладанні двох однаково направлених хвиль (5) знаходимо графічним методом (з допомогою векторної діаграми)

. (6)

Розглянемо окремі випадки:

1. Нехай ω₁≠ ω₂, к₁≠к₂, φ₁≠φ₂.

В цьому випадку жодна складова правої сторони рівняння (6) не дорівнює нулю, а тому можна визначити лише середнє значення результуючої амплітуди. Оскільки середнє значення косинуса за час в один період дорівнює нулю, то

(7)

Рівняння (7) показує, що в цьому випадку в точці М відбувається просте додавання інтенсивностей (I ~ A²)

2. Нехай ω₁ = ω₂, к₁=к₂, φ₁= φ₂, A₁ = A₂ = A₀.

В цьому випадку рівняння (7) матиме вигляд

. (8)

Вираз під функцією косинуса в рівнянні (8) не залежить від часу , а тому не підлягає усередненню. Результуюча інтенсивність при накладанні двох хвиль в цьому випадку буде дорівнювати

(9)

Рівність (9) показує, що розподіл інтенсивності при накладанні двох хвиль з рівними циклічними частотами, хвильовими числами й початковими фазами в різних точках простору буде різною. Такі хвилі називаються когерентними, а явище називається інтерференцією.

Проведемо аналіз співвідношення (9).

а) якщо кΔr =± 2nπ, де n = 1, 2, 3, … і к = ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати

. (10)

Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається ціле число хвиль, то при їх накладанні інтенсивність зростає в 4 рази. Ця умова є умовою максимумів інтерференції, тобто

, де n = 0, 1, 2, 3, … ─ умова максимумів інтерференції.

б) якщо кΔr = ± (2n +1), де n = 1, 2, 3, … і к = ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати

(11)

Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається непарне число півхвиль, то при їх накладанні результуюча інтенсивність буде дорівнювати нулю. Ця умова є умовою мінімумів інтерференції, тобто

Δr= ±(2n+1) , де n=0, 1, 2, 3,… ─ умова мінімумів інтерференції.

Стоячі хвилі

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі. Стоячі хвилі - це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширю-ються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.

Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі х в пружному середовищі без затухання, при цьому виберемо початок відліку х так, щоб початкова фаза φ дорівнювало нулю, тобто

(12)

Додамо ці рівняння і враховувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі

(13)

Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією ж частотою ω, що і коливання зустрічних хвиль.

Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду А_ст результуючих хвиль, точніше ─ амплітуда як величина позитивна, дорівнює абсолютному значенню цього множника:

(14)

Амплітуда результуючого коливання залежить від координати х, що визначає положення точок середовища. Точки середовища, де амплітуда А_ст досягає максимального значення 2А, називаються пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей визначають із умови

(m=0, 1, 2, …). (15)

Точки середовища, де А_ст = 0, називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Координати вузлів визначаються із умови

(m = 0, 1, 2, …). (16)

Із співвідношень (15) і (16) координати пучностей і вузлів відповідно дорівнюють

, і (17)

Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох значень х_п для двох послідовних значень т: тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля

(18)

Відстань вузла від найближчої пучності дорівнює:

(19)

На рис. 2 наведено характер руху частинок середовища при встановленні в ньому поперечної стоячої хвилі через проміжок часу T/2. Стрілками показано напрямки руху частинок, які викликані тією чи іншою хвилею.

Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухомих вузлових точок, які розміщені на відстані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітудами, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучноcті. Всі частинки одночасно проходять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжному інтервалі між вузлами характер коливань такий же, але фаза протилежна.

Рис. 2

У стоячій хвилі енергія не переноситься - повна енергія коливань кожного елемента об'єму середовища, обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і відбита хвилі, які утворюють цю стоячу хвилю, переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямках.

Лише в межах відстаней, рівних половині довжини хвилі, відбуваються взаємні перетворення кінетичної енергії в потенціаль-ну і навпаки.

На межі, де відбувається відбивання хвилі, може утворюватись як вузол так і пучність. Якщо середовище, від якого відбувається відбивання хвилі, менш густе, то в місці відбивання буде утворюватись пучність (рис.3,а). Утворення вузла можливе лише при відбиванні хвилі від більш густого середовища (рис.3,б).

Утворення вузла пов’язане з тим, що хвиля, відбиваючись від більш густого середовища, змінює свою фазу на протилежну. Тому накладання хвиль різних напрямків приводить до утворення вузла.

Рис. 3

Якщо ж хвилі відбиваються від менш густого середовища, то зміни фази хвиль не відбувається. Хвилі тут накладаються в одній і тій же фазі, а тому в місці накладання утворюється пучність.