Прямые многократные измерения.

Обработка данных

Способы нахождения оценок результата измерений зависят от вида функции распределения погрешностей и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регламентируемых в рамках законодательной метрологии. Общие соображения по выбору оценок заключаются в следующем.

Распределение погрешностей результатов наблюдений, как правило, являются симметричными относительно центра распределения, поэтому истинное значение измеряемой величины может быть определено как координата центра рассеивания x_o, то есть центра симметрии распределения случайной величины (при условии, что систематическая погрешность исключена). Отсюда следует принятое в метрологии правило оценивания случайной погрешности в виде интервала симметричного относительно результата измерения.

Правила обработки результатов измерений с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:

- обрабатывается ограниченная группа из п наблюдений;

- результаты наблюдений x_i могут содержать систематическую погрешность;

- в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;

- распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.

Результаты наблюдений обрабатываются в следующей последовательности:

1) исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (введением поправки);

2) вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

3) вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений:

Вычислив σ целесообразно проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей, помня, что при нормальном законе распределения ни одна случайная погрешность ,с вероятностью практически равной единице, не может выйти за пределы ±3σ. Наблюдения, содержащие отклонения, превышающие 3σ, исключают из группы и заново повторяют вычисления x и σ в соответствии с пп. 2 и 3.

4) вычислить оценку среднеквадратичного отклонения результата измерения S_x:

;

5) проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений при-надлежат нормальному распределению. При числе наблюдений n < 15 принадлежность к нормальному закону не проверяют, а доверительные границы случайной погрешности результата определяют лишь в том случае, если достоверно известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону;

6) вычислить доверительные границы ε случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности Р:

,

где – коэффициент Стюдента;

7) при наличии систематических случайных погрешностей необходимо вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерений.

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из неисключенных систематических погрешностей метода, средств измерений, погрешностей поправок и других факторов

При суммировании эти составляющие рассматриваются как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения неисключенных погрешностей их распределения принимают за равномерные. В этом случае границы неисключенной систематической погрешности результата измерения q вычисляют по формуле:

,

где q – граница i-й неисключенной составляющей систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью;

m – количество несключенных составляющих систематической погрешности;

8) вычислить доверительные границы погрешности результата измерения при наличии случайных и систематической погрешностей измерения.

Анализ соотношения q /S_x показывает, что если q /S_x < 0,8, то неисключенной систематической погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата измерения равным ± ε.

Если q / S_x > 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата равными ± q.

Если 0,8 < q /S_x < 8, вычисляют среднеквадратичное отклонение результата как сумму неисключенной систематической погрешности и случайной составляющей:

.

Границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляют по формуле

Δ =± K S_τ.

Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле

.

Пример-задание. Определить границы доверительного интервала для полученных результатов измерений.

Было проведено 10 измерений диаметра и получены следующие результаты: 29,98; 29,99; 29,98; 29,96; 30,01; 30,03; 29,97; 29,98; 30,00; 29,99 (мм).

Измерения проводились микрометром МК 25-50 при нормальных условиях. Систематические погрешности исключались настройкой микрометра на 0 перед началом измерений и после 5 измерений. Микрометр поверен.

Выполним обработку данных:

1) систематические погрешности исключены в процессе измерения;

2) Вычислим среднее арифметическое результатов измерений:

Исходные данные и результаты вычислений занесем в табл. 5.

Таблица 5

Данные для определения доверительного интервала

3) вычислим среднеквадратичное отклонение:

Проверим наличие грубых погрешностей: так как неравенство 3σ > (x_i-X) выполняется при п=1, 2, 3, 4,...9, 10, грубых погрешностей нет;

4) определим оценку среднеквадратичного отклонения:

5) вычислим доверительные границы ε случайной погрешности результата измерений при заданной доверительной вероятности. Доверительную вероятность определяем с использованием прил. 2:

Доверительная вероятность Р = 0,75 » 0,8.

Доверительные границы .

Используя прил. 3, определим t_g = 1,38; e =1,38×0,0607 = 0,0838.

Результаты измерения 29,989 ± 0,084.

Используя правила округления, получаем (см. разд. 3.2), полученный результат измерения: 29,99 ± 0,08.