ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1.По данным таблицы о распределении проб на обогатительной фабрике по проценту содержания металла в руде (в процентах к итогу) вычислить:

1) среднее содержание металла в руде (обычным способом и по способу моментов);

2) медиану;

3) моду;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию (двумя способами);

7) среднее квадратическое отклонение;

8) относительные показатели вариации;

9) асимметрию, эксцесс;

Произвести краткий анализ полученных показателей

Решение.

1) определим среднее содержание металла в руде:

а) обычным способом:

б) по способу моментов:

- среднеарифметическая,

где m₁- момент первого порядка;

К- величина интервала;

А- условное начало отсчета.

В качестве условного начала отсчета (т.к. у нас нечетное количество групп) берем центральное значение интервала стоящего в середине, т. е. интервала 20-24

Расчет приведен в таблице 1.

К = 12- 8 =4 %

А = 22 %

Вывод: Среднее содержание металла в руде составляет 18,76 %.

2) Вычислим медиану.

Место медианы -

Медианным является интервал 16-20%. т. к. в этом интервале находятся номера 50 и 51 ряда.

Вывод: В половине проб содержание металла в руде больше 18,9 %.

3) Вычислим моду:

Модальным в данном распределении является интервал 8-12%, т.к. наибольшее число проб ( =28) находится в этом интервале.

Вывод: Больше всего проб с содержание металла равным 10,67 %.

Для расчета показателей вариации удобно использовать вспомогательную таблицу 2.1.

4) Вычислим размах вариации:

R =

Вывод:Разница между максимальным и минимальным содержанием металла в руде составляет 28%

5) Вычислим среднее линейное отклонение:

6) Вычислим дисперсию:

1 способ:

2 способ:

Вывод: Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от их средней величины равен 51,1.

7) Среднее квадратическое отклонение:

%

Вывод: Индивидуальные значения признака отличаются в среднем от средней арифметической на 7,15%

8) Вычислим относительные показатели вариации:

а) коэффициент осцилляции:

б) линейный коэффициент вариации: -

в) коэффициент вариации:

Вывод: Значение коэффициента вариации (38,11%) свидетельствует о том, что совокупность не однородна.

Таблица 2.1.

Содержание металла в руде, %	Число проб, % (f )	Середина интервала, (Х)	Х - А
8-12			-12	-3	-84		-8,76	2148,72	245,28	164892,77
12-16			-8	-2	-28		-4,76	317,24	66,64	7188,66
16-20			-4	-1	-11		-0,76	6,38	8,36	3,7
20-24							3,24	157,5	48,6	1653,75
24-28							7,24	1258,08	173,76	65948,55
28-32							11,24	758,04	67,44	95770,77
32-36							15,24	464,52	30,48	107889,42
ИТОГО					-81			5110,48	640,56	443357,62

9) Вычислим асимметрию и эксцесс:

Вывод: Асимметрия правосторонняя, значительная.

,

где

Вывод: Эксцесс отрицателен, следовательно, распределение плосковершинное.

Задача 2.По данным таблицы вычислить:

1) изменение (в %) выпуска каждого вида продукции, а также изменение выпуска продукции в целом по предприятию;

2) изменение цен (в %) по каждому виду продукции и среднее изменение цен по всему ассортименту продукции;

3) агрегатный индекс изменения общей стоимости продукции и провести факторный анализ изменения общей стоимости продукции, выделив из общей суммы изменение за счет изменения количества продукции и за счет изменения цен.

Виды продукции	Выпуск продукции, шт.	Отпускная цена за 1 шт., руб.
1 кв. ( )	2 кв. ( )	1 кв. ( )	2 кв. ( )
А
Б

Решение.

1) Для характеристики изменения выпуска каждого вида продукции исчисляются индивидуальные индексы физического объема продукции:

Вывод: Выпуск продукции А вырос на 8 % (108-100).

Вывод: Выпуск продукции Б снизился на 22% (78-100).

Для характеристики изменения выпуска продукции в целом по предприятию исчисляется агрегатный индекс физического объема продукции:

Вывод: Фактический объем производства двух видов продукции снизился на 0,8%, в результате стоимость продукции снизилась на 1500 руб. (195000-196500)

2) Для характеристики изменения цен по каждому виду продукции используются индивидуальные индексы цен:

Вывод: Цена продукции А выросла на 2% (102-100)

Вывод: Цена продукции Б снизилась на 4% (96-100)

Среднее изменение цен по всему ассортименту продукции определяется по формуле агрегатного индекса цен:

Вывод:Фактическая цена по двум видам продукции увеличилась на 0,8% по сравнению с 1 кварталом, за счет чего стоимость продукции повысилась на 1500 руб. (196500-195000)

3) Агрегатный индекс общей стоимости продукции (индекс товарооборота):

Вывод: Общая стоимость обоих товаров не изменилась

Факторный анализ общей стоимости продукции:

Общее изменение стоимости продукции:

а) Общее изменение стоимости продукции за счет изменения цены:

б) Общее изменение стоимости продукции за счет изменения количества товара:

Вывод: Изменение цен на оба вида продукции дало прирост общей стоимости продукции в 1500 руб., изменение физического объема продаваемой продукции дало снижение общей стоимости в 1500 руб.

Задача 3.Изобразите графически динамику ряда с помощью статистической кривой. По данным таблицы вычислить:

1) средний объем производства продукции;

2) базисные и цепные абсолютные приросты;

3) базисные и цепные темпы роста;

4) базисные и цепные темпы пророста;

5) абсолютный размер 1% прироста

6) среднегодовой абсолютный прирост;

7) среднегодовой темп роста;

8) произвести аналитическое выравнивание;

9) спрогнозировать объем производства на 5 лет вперед методом экстраполяции;

10) расчетные уровни нанесите на график.

Результаты представьте в табличной форме.

Решение.

1) Средний уровень интервального ряда динамики:

2) Расчет показателей динамики представлен в таблице 2.2.

Таблица 2.2.

6) Среднегодовой абсолютный прирост:

Вывод: В среднем прирост цен ежегодно составлял 1,5 млн. руб.

7) Среднегодовой темп роста:

или 109,2%

Вывод:В среднем цены ежегодно возрастали на 9,2% (109,2-100)

8) Для определения формы тренда и расчета его параметров составляется вспомогательная таблица 2.3.

Таблица 2.3.

Годы	Объем пр-ва прод., млн. руб.	Первые разности	t	t2	уt	Теоретический уровень
	11,3	-	-5		-56,5	10,8
	12,3		-4		-49,2	12,13
	13,5	1,2	-3		-40,5	13,46
	14,5		-2		-29	14,79
	16,2	1,7	-1		-16,2	16,12
	17,9	1,7			17,9	18,78
	19,5	1,6				20,11
	21,2	1,7			63,6	21,44
	22,9	1,7			91,6	22,77
	25,2	2,3				24,1
ИТОГО	174,5				146,7	174,5

Первые разности (гр.3) приблизительно равны между собой, что позволяет в виде модели принять уравнение прямой:

Для нахождения и используется система нормальных уравнений. Для упрощения системы уравнений показатели времени t обозначаются так, чтобы ; тогда система принимает вид:

Модель тренда:

Теоретические уровни вычисляются так:

млн. руб.

млн. руб.

Далее расчеты приведены в таблице 2.3.

9) Cпрогнозировать объем производства на 5 лет вперед методом экстраполяции:

10)

Задача 4.По данным таблицы необходимо:

1) найти уравнение корреляционной связи между выпуском продукции, размером основных фондов и численностью рабочих;

2) определить выровненные значения Y(X) и построить график корреляционной зависимости по фактическим и теоретическим данным;

3) определить коэффициенты парной и множественной корреляции.

Численность выразить в тыс. чел.

Решение.

Таблица 2.4.

№ п/п	Стоимость ОПФ, млн. руб. (х)	Товарная продукция, млн. руб. (у)	Среднеспи-сочная численность рабочих, тыс.чел. (z)
	5,20	2,70	0,90	27,04	4,68	14,04	2,43	0,81
	6,00	3,20	0,98	36,00	5,85	19,20	3,12	0,95
	6,90	3,70	1,11	47,61	7,66	25,53	4,11	1,23
	7,90	4,50	1,20	62,41	9,48	35,55	5,40	1,44
	8,70	5,40	1,28	75,69	11,09	46,98	6,89	1,63
	9,30	6,30	1,35	86,49	12,56	58,59	8,51	1,82
	10,30	7,20	1,41	106,09	14,52	74,16	10,15	1,99
	11,10	8,10	1,49	123,21	16,48	89,91	12,03	2,21
	12,10	9,20	1,55	146,41	18,69	111,32	14,21	2,39
	13,00	10,20	1,61	169,00	20,87	132,60	16,37	2,58
	14,10	11,30	1,66	198,81	23,34	159,33	18,70	2,74
	15,00	12,30	1,71	225,00	25,65	184,50	21,03	2,92
	16,00	13,50	1,77	256,00	28,24	216,00	23,83	3,12
	17,30	14,70	1,83	299,29	31,66	254,31	26,90	3,35
	18,40	16,20	1,88	338,56	34,50	298,08	30,38	3,52
	20,00	17,90	1,94	400,00	38,70	358,00	34,64	3,74
	21,30	19,50	1,98	453,69	42,17	415,35	38,61	3,92
	22,30	21,20	2,01	497,29	44,87	472,76	42,65	4,05
	24,10	22,90	2,03	580,81	48,87	551,89	46,44	4,11
	25,50	25,20	2,10	650,25	53,55	642,60	52,92	4,41
	27,30	28,30	2,12	745,29	57,93	772,59	60,05	4,50
	29,40	31,50	2,14	864,36	62,86	926,10	67,35	4,57
	31,50	36,00	2,22	992,25	69,93	1 134,00	79,92	4,93
	32,60	39,70	2,23	1 062,76	72,70	1 294,22	88,53	4,97
	37,20	45,00	2,24	1 383,84	83,14	1 674,00	100,58	5,00
Итого	442,50	415,70	42,69	9 828,15	839,99	9 961,61	815,74	76,89

1) Уравнение множественной корреляции:

,

где х – стоимость ОПФ, млн. руб.;

z – численность рабочих, тыс. чел.;

y – выпуск продукции, млн. руб.;

n - количество предприятий.

Для нахождения неизвестных параметров составляем систему нормальных уравнений:

В уравнение подставляем данные х, z, y из таблицы.

Получаем уравнение множественной корреляции:

Вывод: Уравнение показывает влияние двух признаков-факторов х (стоимость ОПФ) и z (численность рабочих) на результативный признак y (выпуск продукции). Параметры уравнения и показывают, что с увеличением стоимости ОПФ на 1млн. руб. и численности персонала на 1000 человек выпуск продукции возрастает соответственно на 1,3 и 0,15 млн. руб.

2) Определим выровненные значения у(х) и построим график корреляционной зависимости по фактическим и теоретическим данным

Используем уравнение прямолинейной функции: у(х) =

у(х) = -6,46+1,3х - уравнение парной корреляции между выпуском продукции и стоимостью ОПФ.

Строим график корреляционной зависимости по фактическим и теоретическим данным:

3) Коэффициент парной корреляции между стоимостью ОПФ и выпуском продукции:

Вывод: Связь между стоимостью ОПФ и выпуском продукции прямая, слабая.

Коэффициент парной корреляции между численностью рабочих и выпуском продукции:

Вывод:Связь прямая, сильная.

Коэффициент парной корреляции между численностью рабочих и стоимостью ОПФ:

Вывод: Связь прямая, сильная.

Коэффициент множественной корреляции:

Вывод: Между стоимостью ОПФ, численностью рабочих и выпуском продукции существует сильная связь. За счет вариации х, у, z объясняется 98,7% общей вариации дохода производства.

Задача 5.Произведена простая случайная повторная выборка 100 рабочих механического цеха по общему стажу работы (см. таблицу). Определить:

1) средний стаж рабочих цеха с вероятностью 0,683;

2) долю рабочих со стажем 20 лет и более с вероятностью 0,997;

3) необходимую численность выборки при определении среднего стажа работы с вероятностью 0,954, чтобы предельная ошибка выборки не превышала 2 г.

Решение.

1) Средний стаж рабочих цеха с вероятностью 0,683:

Найдем выборочную среднюю:

Найдем предельную ошибку выборки:

Вывод:с вероятностью 0,683 можно говорить, что средний стаж работы персонала цеха колеблется от 16,31 до 17,79 лет.

2) Определим долю рабочих со стажем работы 20 лет и более с вероятностью 0,997

Таким образом, доля рабочих со стажем 20 лет и более составляет 20%.

или 12 %

Вывод:с вероятностью 0,997 можно говорить, что доля рабочих предприятия со стажем работы 20 лет и более колеблется от 8% до 32%.

3) Предельная ошибка выборки = 2 года

Вывод:с вероятностью 0,954 численность выборки составляет 62 человека, при этом предельная ошибка выборки не превышает 2 лет.

Задача 6.По данным о продукции, основных фондах и среднесписочной численности рабочих предприятий объединения (табл. задачи 4):

1) произвести группировку предприятий (с равными интервалами по стоимости основных производственных фондов);

2) группы охарактеризовать числом предприятий, а также объемом выпуска продукции, численностью рабочих, размерами основных фондов;

3) вычислить по группам средние показатели: на одно предприятие - размер основных фондов, фондоотдачи, фондоемкости, объем выпуска продукции, численность рабочих, производительность труда, фондовооруженность.

4) результаты группировки изложить в табличной форме и сформулировать краткие выводы.

Решение.

Существенный признак – стоимость ОПФ.

1) Найдем количество групп:

групп

Рассчитаем величину интервала:

i = (37,2 – 5,2) / 6 = 5,33 млн. руб.

Произведем группировку (результаты группировки представлены в таблице 2.5.).

3) Рассчитаем фондоотдачу, фондоемкость, фондовооруженность и производительность труда.

а) Фондоотдача – характеризует количество продукции, приходящейся на 1 руб. стоимости основных фондов.

Фо =

где Q – объем производства продукции;

- среднегодовая стоимость основных производственных фондов. Фо₁ = млн. руб. (далее смотри таблицу)

б) Фондоемкость – показывает какая, часть стоимости основных фондов приходится на 1 руб. произведенной продукции.

Фе =

Фе₁ = млн. руб.

в) Производительность труда – это количество продукции приходящееся на одного среднесписочного работника.

П =

где - среднесписочная численность работников за период.

П₁ = млн. руб./чел.

г) Фондовооруженность труда – это размер основных фондов в расчете на одного работника предприятия.

Фт =

Фт₁ = млн.руб./чел.

Вывод:С ростом стоимости основных производственных фондов увеличиваются выпуск продукции на 1 предприятие, фондоотдача, возрастает фондовооруженность труда, а фондоемкость уменьшается.

Таблица 2.5.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1

По данным таблицы о распределении рабочих по стажу работы на металлургическом заводе вычислить:

1) средний стаж работы (обычным способом и по способу моментов);

2) медиану;

3) моду;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию (двумя способами);

7) среднее квадратическое отклонение;

8) относительные показатели вариации;

9) асимметрию, эксцесс;

Произвести краткий анализ полученных показателей.

Задача 2

По данным таблицы вычислить:

1) изменение (в %) выпуска каждого вида продукции, а также изменение выпуска продукции в целом по предприятию;

2) изменение цен (в %) по каждому виду продукции и среднее изменение цен по всему ассортименту продукции;

3) агрегатный индекс изменения общей стоимости продукции и провести факторный анализ изменения общей стоимости продукции, выделив из общей суммы изменение за счет изменения количества продукции и за счет изменения цен.