Потенциальная энергия тела в положении равновесия.

( ).

( ).

( ).

( ).

БИЛЕТ 9. Потенциальная энергия материальной точки в поле силы тяжести, в поле центральной силы. Потенциальная энергия системы из двух взаимодействующих материальных точек.

- в поле силы тяжести.

( ) = = = .

- в поле центральной силы.

Поле называется центральным, если сила, действующая на материальную точку, помещенную в это поле, направлена вдоль прямой, соединяющей ее с ее центром.

=0, так как ,

=

Потенциальная энергия системы из двух взаимодействующих материальных точек.

=

).

БИЛЕТ 10. Закон изменения механической энергии. Закон сохранения механической энергии. Абсолютно упругий удар.

Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из n материальных точек. Ее кинетическая энергия , а изменение кинетической энергии равно сумме работ, совершаемых при этом всеми внешними и внутренними силами:

,

причем сумму элементарных работ всех сил, приложенных к материальной точке системы удобно разбить на две части:

.

Тогда

Из определения потенциальной энергии системы следует, что согласно

Величина W, равная сумме кинетической и потенциальной энергий системы, назы­вается механической энергией (полной механической энергией) системы. Уравнение выражает закон изменения механической энергии:

изменение механической энергии системы равно алгебраичес­кой сумме работ всех непотенциальных сил, действующих на систему, и изменения потенциальной энергии системы за рас­сматриваемый промежуток времени, обусловленного нестаци­онарностью внешних потенциальных сил.

Если система замкнута, то изменение ее механической энергии обусловлено только действием в ней непотенциальных сил:

Механическая система называется консервативной,если все действующие на нее

внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы ( А^нпс = 0), а все внешние потенциальные силы стационарны. Потенциальная энергия консервативной системы может изменяться только при изменении конфигурации системы. Следовате­льно, частная производная по времени от потенциальной энергии консервативной системы, характеризующая быстроту изменения этой энергии с течением времени при условии постоянства конфигурации системы, тождественно равна нулю: .

Поэтому видно, что механическая энергия консервативной системы не изменяет­ся с течением времени.

Этот закон называется законом сохранения механической энергии.В частности, он справедлив для замкнутых консервативных систем: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы потенциальны либо не совершают работы. Например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают. Поэтому действие таких сил на систему не вызывает изменения ее механической энергии.

Применение закона сохранения механической энергии к расчету аб­солютно упругого прямого центрального удара двух тел.

Абсолютно упругим ударомназывается такой удар, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара массами

и движутся до удара поступательно со скоростями и , направленными вдоль оси ОХ, проходящей через центры шаров. Нужно найти скорости и шаров после соударения.

В процессе удара систему соударяющихся упругих тел можно считать замкнутой и консервативной. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, так что потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем

По закону сохранения импульса:

Так как все скорости направлены по оси ОХ, то

(проекции векторов скоростей на ось ОХ)

Совместное решение уравнений дает

Окончательно получаем:

БИЛЕТ 11. Теорема Кёнига.

Значения скорости и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны в двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Рассмотрим 2 системы отсчета: инерциальную систему и систему, движущуюся относительно первой системы со скоростью :

и

- Теорема Кёнига.

Формулировка:

«Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в ее движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью центра масс»

БИЛЕТ 12. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент пары сил. Момент импульса материальной точки и системы материальных точек относительно неподвижной точки и оси.

Момент силы

- относительно неподвижной точки

Моментом силы относительно неподвижной точки называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из точки в точку , приложения силы на саму силу.

Точка принимается за начало координат инерциальной системы отсчета.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов и по правилу правого винта. Модуль момента силы:

(где - угол между и , -длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы . Величина называется плечом силы )

- относительно неподвижной оси.

Моментом силы относительно неподвижной оси а называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно какой-нибудь точки, лежащей на оси а или векторная величина , где - орт оси а.

Также , (где - расстояние от точки приложения силы до оси, а - проекция силы F на направление вектора =v/ , где v-линейная скорость этой точки вращающегося тела.

] =

+ + +

0 (направлено вдоль оси oo’)

Момент пары сил.

Парой называются силы равные по величине, противоположные по направлению, но не действующие по одной прямой.

Момент пары сил не зависит от выбора оси

( -плечо пары сил).

Момент импульса:

- материальной точки относительно неподвижной точки

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки называется векторное произведение радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки O, на импульс этой материальной точки

- системы материальных точек относительно неподвижной точки

Моментом импульса механической системы относительно неподвижной точки называется вектор равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы.

- материальной точки относительно неподвижной оси.

- системы материальных точек относительно неподвижной оси.

Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси.

БИЛЕТ 13. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры расчета момента инерции.

Величина , равная сумме произведений масс всех материальных точек , образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси, называется моментом инерции системы относительно этой оси.

Момент инерции:

Материальной точки Системы материальных точек Абсолютно твердого тела

Таким образом, момент импульса тела относительно оси ОZ равен

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции тела относительно параллельной ей оси ,

проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Доказательство:

На рисунке оси и направлены перпендикулярно плоскости чертежа, а расстояния от малого элемента тела массой до этих осей обозначены соответственно и . По теореме косинусов:

где - абсцисса элемента тела в системе координат с началом в центре масс тела и осью абсцисс, пересекающей оси и и лежащей в перпендикулярной им плоскости. Из определения центра масс следует, что

так как центр масс совпадает с началом координат . Справедливость соотношения доказана.