Геометрический смысл итегральной суммы Римана.

Гл.5 Определенный интеграл

Рассмотрим одну из множества практических задач, приводящих к определённого интеграла. А именно: задачу о вычислении площади плоских фигур.

Пусть дана

Фигура ограничена сверху кривой, ,

при этом , с боков прямыми , а снизу отрезком оси ОХ.

Такую фигуру принято называть криволиненейной трапецией.

Определим ее площадь.

Для этого:

1) разделим (отрезок ) основание трапеции произвольным образом на «n» частей точками

по

Через эти точки проводим прямые || по оси OY.

Трапеция разобьется на «n»-полосок

Обозначим

Для всех полосок имеем:

2)

3) На каждом из промежутков выберем точки т.е.

(cовокупность (…) { } назовем размеченым разбиением [a,b])

Размеченное разбиение -

Неразмечене разбиение -

4) Найдем значение функции в этих (…)(3)

Заменим каждую полоску прямоугольником с основанием и высотой .

Т.о. площадь криволиненейной трапеции приближенно замениться площадью некоторой ступенчатой фигуры составленой из отдельных прямоугольников

При этом,если уменьшать расстояние между точками и увеличивать число точек , то при некоторых свойствах функции в пределе получим площадь криволинейной трапеции , т.е

, где -шаг разбиения.

К суммам типа (1) можно прийти решая различные задачи:

1)вычисление длины пути,пройденного точкой за время с момента

При заданной скорости движения .

2) Определение массы прямоугольного стержня конечной длинны с заданной линейной массовой плотностью и тд.

Такие суммы называются интегральными .

Df1.Сумма произвдений длин ячеек на занчении функции в соответствующих точках называются интегральной суммой

Т.е (сумма Римана)

Для данной функции значение интегральной суммы зависитот способа разбиения и выбора (…) .

Для данной функции можно составить бесчисленное множество интегральных сумм.

Дадим актуальное Df-е .

Df.2.Пусть дан

Упорядоченный набор точек { }

Называется разбиением отрезка

Обозначение: (зет готическое)

Очевидно,что различные разбиения олучаем даже в том случае, когда совпадает число точек разбиения.

Обозначим длина отрезка [

Шагом (мелкостью) разбиения

Df.3.Пунктированным разбиением отрезка называется разбиение к которому добавлен набор точек

i=1,2,…,n.

Обозначение

Очевидно, из одного разбиения можно сделать бесконечно мног пунктированных разбиений .

Анологично шаг пунктированого разбиения

Пусть теперь дана функция определена на Фиксируем некоторое пунктированное разбиение отрезка .

Составим следующую сумму

(2) -называется интегральной суммой Римана. (простой интегральной суммой)

Очевидно -числовая функция , аргументами которой являются функция , определенная на и пунктированное разбиение

Такие функции ранее не рассмотривались. Дадим предела таких функций .

Df.4’.

Если конечный предел интегральной суммы (1) при , не зависящий ни от способа деления отрезка [a,b] на части , ни от выбора точек ,

то этот предел называется определенным интегралом функции на [a,b] и обозначается символом (2’)I=

I=

E- определиние интеграла Романа

Число называется пределом интегральных сумм если для

Что при -м способе разбиение [a,b] , при котором и при -м выборе точек будет выполняться неравенство

Если ,определена на [a,b]

Геометрический смысл итегральной суммы Римана.

Если и ,то имеет простой геометрический смысл:

Это сумма площадей прямоугольников, апроксимирующих ( приближенное выражение математических велечин (чисел,функций) через другие более простые) криволинейную трапецию.

По этому интеграл Римана

можно рассматривать как «площадь» этой криволинейной трапеции.

В этом и заключаеться геометрический смысл определенного интеграла.

Приведем простейшей пример интегрируемой по Риману функции.

1)Пусть

2)при Заметим ,что, как правило определеный интеграл с помощью данного определения не вычисляют.

§2. Условия определеного интеграла.

Th1.(необходимые условия )

Пусть ограничена на

Доказательство

От противного

Достаточно доказать, что если - не ограничена на Þ т.е конечный . Для этого достаточно доказать

(см. необходимые условия конечного предела ) , что неограничена на множестве разбиений , т.е. ;

Возмем некоторое разбиение , что т.к - неограничена на

Þ неограниченность хотя бы на одном отрезке .

Пусть ( для определенности ) - неограничена на , а на остальных отрезках ограничена .

Выберем производные точки

Точку найдем следующем образом:

Т.к -неограниченная на Þ

,что

Т.О.

Где получили пунктированое разбитие , при чем

Составим интегральную сумму :

Тогда

–не ограничена на -противоречие. Отметим , что условие th является лишь необходимым но не достаточным :

Замечание .из ограниченности функции на , вообще говоря не следует

Доказательство .

Доказательство проведем от противного :

Пусть не ограничена.

тогда для любого разбиения найдеться отрезок на котором функция не ограничена . Для случая изображенного на рисунке , это отрезок

Теперь , за счет выбора (.) на этом отрезке , можно сделать слагаемое , произвольно большим ( не меняя других слагаемых ).

Тогда и вся сумма будет большой , не зависимо от мелкости разбиения.

Это противоречит тому, что при мелких разбиениях интегральная сумма близка к определенному числу J(интегралу).

Замечание.

Ограниченность – необходимое , но не достаточное условие интегрируемости.

Рассмотрим пример ограниченной , но не интегрируемой функции

Пусть функция задана на отрезке следующем образом

Q-множество рациональных чисел

Очевидно ограничена. Но как бы мелко не разбивали отрезок можно выбрать все рациональными ,

И тогда

А можно выбрать все - иррациональными , и тогда

Поэтому не -ет числа , к которому стремится сумма при изменении разбеении , не зависимо от выбора . Эта не интегрируемая функция носит название функции Дирехле.

Пусть далее f-определена и ограничена на

–произвольное разбиение

Обозначим :

Составим суммы:

– верхняя сумма Дарбу.

– нижняя сумма Дарбу.

Обозначаем:

Þ

Очевидно

Но Þ

Т.е. -ограничены , - огранечены .

Т.е. Можно определить.

(*)

Т.к.

Т.е . -ограничены , - огранечены .

Геометрическая интерпретация ограничевается случаем , когда

Число выражает площадь выходящего прямоугольника с основанием . Из всех прямоугольников с основанием , содержащих данную криволинейную трапецию , этот прямоугольник имеет наименьшую высоту M.

Число есть площадь выходящего прямоугольника. Из всех прямоугольников с основанием и содержащимся в данной криволинейной трапеции этот прямоугольник имеет наибольшую высоту m.

Верхняяя и нижняя суммы суть площади ступенчатых-входящего и выходящего – многоугольников , построенных для данного разбиения .

Неравенства (*) обозначают , что площади ступенчатого входящего и выходящего многоугольников (при любом разбиениеи) заключены между площадями входящего и выходящего прямоугольников.

Тогда можно определить:

- верхний интеграл Дарбу

- нижний интеграл Дарбу

Обозначим: - колебание f на

Th2(Теорема Дарбу – необход. И дост-ая усл-е )

Пусть f(x) – определена и ограничена на [a,b]

Тогда ó выполняется одно из трех эквивалентных условий:

1. (верхний интеграл Дарбу = нижнему)

2. где =

3.

При этом

Th3. (Достаточное усл-е инт-сти для непрерывных функций)

Пусть

(б/д)

Th4. (Дост-ое усл-е инт-ти для кусочно-непрерывных функций)

Пусть f(x) – ограничена на [a,b] и имеет лишь конечно число точек разрыва на [a,b] =>

(б/д)

Th5. (Достаточное условие интегр-ти монотонных функций)

Пусть f(x) – определена и монотонна на [a,b] =>

(б/д)

Отметим, что в th5 в неявном виде заложено условие ограниченности функции f(x) на [a,b]