Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Мы рассматривали интегралы с постоянными пределами интегрирования , где a и b – const

Величина такого интеграла для данной подынтегральной функции зависит только от пределов интегрирования “a” и “b” и не зависит от x.

Если менять, например, верхний предел “b”, то величина интеграла станет некоторой функцией от переменной “x”.

Df1 Пусть

С переменным верхним пределом интегрирования.

Обозначим переменную интеграла в буквой t, чтобы не смешивать ее с верхним пределом x, т.е .

Аналогично - интеграл с переменным нижним пределом.

Рассмотрение ин-ла как функции нижнего предела не представляет специального интеграла, т.к в силу свойств интеграла Задача свелась к изучению интеграла как функции верхнего предела.

Относительно этой функции докажем следующие теоремы.

Th1 (о непрерывности определенного интеграла Римана как функции верхнего предела)

Док-во

Пусть имеем, в силу аддитивности интеграла Римана

- ограничена на [a,b] , т.е

Отсюда:

Но т.к ч.т.д

Th2 (Диф-ность ) (2й вариант док-ва)

(О диф-ти О.И.Римана, как функции верхнего предела)

Док-во

Изth1 известно, что и (1),

Применим к ин-лу (1) th-му о среднем, т.е

Найдем производную функции

…(*)

Т.к , то или

th доказана.

- есть первообразная, для f(x) на [a,b].

Т.О. если , то (инт. )

По его переменному верхнему пределу x на этом сегменте и равна значению f(x) подынтегральной функции f(t) при t=x

Тогда => th-мы.

Th a) Если , то ф-я , .

Является первообразной для ф-и f(x) на этом сегменте ([a,b]).

Th б) - ф-я имеет на ней первообразную.

Объяснение.

В равенстве (*) использована непрерывность:

Если , а значит

. Т.к f-непр. Ф-я, то отсюда =>,

Что . Или th доказана.

Когда тогда , то .

Замечание.

Если x=”a” или “b”, то под следует подразумевать односторонние производные.

Следствие 1)

1. есть первообразная для f(x) на [a,b]

2. первообразная для f(x) на [a,b]

Док-во (1) следует из th2 т.к f(x) – непрерывна .

Пункт (2) Первообразная действительно .

В равенстве (*) использована непрерывность: если , то , а значит и .

Так как f непрерывная функция, то отсюда следует, что .

Итак, , th-ма доказана.

Например .

Отметим, что теорема 2 доказывает фактически следующую формулу.

Т.к операция интегрирования есть обратная к диф-нию.

Кроме того доказана связь неопределенного интеграла и определенного

Следствие 2

для

Доказательство

Т.к.

Т.к.

Th 3 Основная теорема интегрального исчисления

Пусть и - первообразная на для , тогда

Формула Ньютона-Лейбница

Для обозначения разных удобно использовать так называемый знак подстановки

Доказательство

-е две переменные функции f(x) заданой на [a,b], отличаются на постоянную

Если , а другая первообразная непрерывной функции f(x), то , т.е. положим в формуле х=а, а затем х=b. Как нам известно для -й функции, принимающей конечное значение в (.) а. Поэтому

Th Для того чтобы вычислить по от , следует вычислить значение произвольной ее первообразной в (.) « » и в (.) « » и вычесть из первого значения второе

Теперь мы имеем правила вычисления от широкого класса интегрируемых функций.

Доказательство

По следствию (1) теоремы 2 - первообразная на . Т.о. - две первообразные

Пусть х=а

Т.е. (*)

Пусть в(*)

Пример

Формула

Формула Ньютона-Лейбница

С помощью символа подстановки формулу (1) запишем в виде …(2)

Формула (2) устанавливает зависимость между определённым и неопределенными интегралами функций , множество (…) разрыва которой не более чем счетно, выражаемую формулой (3)

§5 Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям

Теорема 1

Пусть

1.

2.

3.

4.

Тогда (1)

Доказательство

Т.к. -первообразная на и

По теореме о замене переменной в неопределенном интеграле -первообразная для на (и на )

Отсюда (1)

Отметим, что при в доказательстве должны фигурировать соответствующие односторонние производные.

В случае, если

При некоторых t, может выходить за отрезок . Но обязательно

Пример

Этот интеграл можно вычислить и без теоремы 1

Нам известен неопределенный интеграл

(По формуле )