Интегрирование по частям в определенном интеграле

Для определенных интегралов имеет место формула интегрирования по частям, аналогичная той, которая была получена для неопределенного интеграла

Пусть на имеем:

По формуле Н-Л и кроме того

Откуда или ч.т.д.

а обобщенная формула интегрирования по частям перейдет в такую:

При этом по прежнему функции и все встречающиеся производные предполагаются непрерывными.

Пример 1.

Пример 2

Замена переменного под знаком определенного интеграла

Пусть требуется вычислить от . Иногда, как в неопределенном интеграле бывает удобно произвести замену перестановкой «х» на новую переменную t, которые связаны между собой соотношением:

Докажем относительно такой замены теорему

Th2. Пусть выполнены следующие условия:

1. Уравнения и имеют решения

(Обозначим их соотвественно и , так что , )

2. Функция (имеет непрерывную производную на )

3. При изменении на отрезке значение функции не выходит из отрезка (т.е ) и следовательно сложная функция определена (или ).

Тогда имеет место равенство:

(1)

Называемое формулой замены переменной под знаком определенного интеграла

Доказательство

Пусть

на , тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем (2), рассмотрим на функцию переменного t определенную соотношением и . Вычислим ее производному по правилу сложной функции:

что функция является первообразной для функции на сегменте .

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница (которая здесь применима, т.к. функция ) имеем:

(3)

(т.к. по условию )

Сопоставляя равенства (2) и (3) мы и получим доказываемую формулу (1)

(1) ч.т.д

Замечание.

При использовании формулы (1) ф-ю следует стараться выбрать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.

Пределы нового интеграла определяются из уравнений: и . При этом эти уравнения могут иметь по несколько корней, тогда за можно принять любой корень уравнения , а за любой корень уравнения

Лишь бы выполнялись условия 2 и 3 th. Условие th3 окажется, в частности, наверняка выполненным, если ф-я будет монотонной на [a,b]

Поэтому на практике замену переменного осуществляют с помощью монотонных функций.

Если ф-я не может принимать значений, равных пределам интегрирования a и b, то она не может служить для выполнения замены переменного в этом интеграле.

Интегрирование четных и нечетных функций.

Th Пусть на симметричном относительно начала координат сегменте.

Тогда

Док-во

Пример 1.

Пример 2.

Решение. Ф-я четна. Докажем, что ф-я нечетна;

Т.О., подынтегральная ф-я представляет собой произведение четной и нечетной функции, т.е является – нечетная ф-я, поэтому J=0

Замечание. Если ф-я f(x) периодическая с периодом Т то

Пример 3.

Решение. Подынтегральная ф-я является периодической с периодом Т= , т.к

Поэтому от верхнего и нижнего пределов интегрирования можно отнять число π:

Пример 4. Вычислить интеграл.

Решение.

Мы разложили ин-л J в сумму двух интегралов Т.О., чтобы под знаком первого ин-ла стояла нечетная ф-я, а под знаком второго интеграла – четная функция. Тогда .

Геометрические приложения опр-го ин-ла.

Df1.Фигурой называется замкнутая ограниченная область на плоскости.

Df2. Фигура наз. квадрируемой (им. Площадь (меру)) если:

, где S-данная фигура P-описанные около S многоугольники

p – вписанные в S – многоугольники.

Df3. Если фигура S квадрируема, то ее площадью наз-ся

Th1. Фигура “S” квадрируема ó, когда последовательности

, т.е

Th2. - разбиение G, причем две из трех фигур квадрируемы, то квадрируема и третья фигура, причем:

Следствие

Если

Df4. Криволинейной трапецией.

I) 1-го рода (типа)

II) 2-го рода (типа) наз-ся я замкнутая фигура (область) определяемая равенством:

I)

Где [a,b] – произвольный отрезок на R.

- произвольные непрерывные на [a,b] удовлетворяющие условиям ф-ции:

Произвольный отрезок на R, удовлетворяющие условиям:

Примеры.

Th3. криволинейная трапеция I) рода (типа).

II) рода (типа) – квадрируема.

При рассмотрении задачи приводящей к понятию опр-го ин-ла был рассмотрен вопрос о вычислении площади криволинейной трапеции.

Где

Было установлено, что

Частные случаи кр-й огран-ой тр-ии 2-го рода

Огран-ной:

Прямыми x=0 , y=c , y=d.

Кривой

Тогда

Пользуясь этими результатами можно вычислить площади разнообразных фигур.

Так например

Аналогично и для случая кр.тр. 2го рода.

Если

Если и не является знакопостоянной на [a,b] , то опр-ся

Следующим образом.

При x<c f(x)>0;

x>c f(x)<0 f(c)=0

x>d f(x)>0 f(d)=0

Df5.

Криволинейным сектором наз-ся фигура S, определяемая равенством: – произвольный отрезок на [0,2π].

- произвольные непрерывные функции на удовлетворяющие условиям

S-площадь криволинейного сектора.

Th4. криволинейный сектор.

(б/д)

Ур-е кривой задано в параметрической форме

Эти функции непрерывны, тогда

Замечание.

(**)

Замечание

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями

То площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

Длина дуги кривой

Df1 Кривой называется множество

где [α,β] – произвольный отрезок на прямой

- произвольная непрерывная вектор- функция – годограф.

Df2 Дугой называется кривая

Примеры

Кривая, для которой называется замкнутой (с самопересечением)

Df3 Длиной дуги (АВ) называется Sup|Г|, если Sup Г<∞, то дуга Г вписана в (АВ) спрямляема (имеет длину).

Обозначение.

Если Г-ломаная, то - max. длина ее звеньев.

Утверждение

1) Дуга (АВ) спрямляема , когда если < , где l-некоторое заданное число l>0, которое равно длине дуги (АВ)

2) Дуга (АВ) спрямляема , когда последовательность Г_n:

Г_n –ломаная вписанная в дугу (АВ)

Df4

Ломанной вписанной в дугу (АВ) называется ломаная, вершины которой лежат на дуге (АВ), а концы совпадают с концами дуги (АВ).

Обозначается -длина дуги

Df5Если -дуга, где -непрерывные диф-мые на [α,β] функции, то

Следствие 1

Если где -непрерывная диффиренцируемая на (АВ), то

Следствие 2

Если где r- полярный радиус, -непрерывная диф-ема на [α,β] функция, то

Или короче

Дифференциал дуги

Пусть в формуле нижняя граница «а» остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Обозначим верхнюю границу буквой «х», а переменную интегрирования, что бы не смешивать ее с верхней границей – буквой t. Если при этом учесть, что длина дуги «l» есть функция верхней границы, то нашу формулу можно записать в виде:

, согласно теореме о производной интеграла по верхней границе эта функция диф-ма, и ее производная дифференциал дуги

или, в сокращенной записи, т.к. ; то , или геометр. Смысл дифференциала дуги: дифференциал дуги dl равен длине отрезка касательной от (.) М касания с абсцисой х до (.) М₁ с абсцисой х+dx

Замечание.

Пусть дуга кривой AB=1. Задана x=x(t), y=y(t), z=z(t), . Эти функции непрерывно дифференцируемы на . Рассмотрим функцию длину части кривой AB от начальной (.) A

до

Диф-л функции l(t) наз-ся диф-лом дуги кривой AB и обозначается dl.

А) если задана дуга кривой

Где то

Если AB лежит в плоскости xoy , т.р. , то

Б) если плоская кривая AB в полярной системе координат