Тема: «Матрицы и определители. Теория системы линейных уравнений. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

Матрицы и определители

1.Определение матрицы и основные понятия.

2.Равенства матрицы. Транспонирование матрицы.

3.Умножение матрицы на число. Сложение и вычитание матрицы.

4. Произведение матрицы на матрицу.

5. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы каноническому виду.

6.Вычисление определителя 1-го, 2-го и 3-го порядка.

7.Основные свойства определителя.

6.Вычисление определителя 1-го, 2-го и 3-го порядка.

9. Метод понижения порядка определителей и вычисление определителя любого порядка.

10. Определение обратной матрицы. Теорема о обратной матрицы и формулы ее вычисления.

11.Определение ранга матрицы. Основные методы его вычисления. Элементарные преобразования над рангом.

Теория системы линейных уравнений.

1.Определение системы линейных уравнений (СЛУ) и ее основные понятия.

2.Совместимость СЛУ и теорема Кронекера-Капели. Условие существования единственного решения СЛУ.

3.Теорема Кронекера-Капели. Условия существования общего решения.

4.Квадратное СЛУ и ее совместимость. Условия существования единственного и общего решения.

5.Однородные СЛУ и ее совместимость. Условие существования нулевого и не нулевого решения.

6.Квадратное СЛУ и его решение по формулам Крамера.

7.Алгоритм описания решения СЛУ любого порядка методом базисного минора

8.Алгоритм описания метода решения СЛУ любого порядка методом Гаусса.

Векторная алгебра.

1.Определение вектора и основные понятия.

2.Равенства, коллинеарность и компланарность векторов.

3.Определение умножения вектора на число.

4.Определения сложения и вычитания векторов.

5.Правило треугольника и правило параллелограмма для сложения векторов.

6.Определение проекции вектора на ось. Формулы вычисления проекции вектора.

7.Основные свойства проекции вектора на ось.

8. Определение декартова координатной системы на плоскости и в пространстве.

9.Базовые векторы декартова координатной системы.

10.Задача деления отрезка в данном отношение.

11.Основная теорема векторной алгебры - разложение вектора в декартовой координатной системе.

12. Основная теорема векторной алгебры. Координаты вектора на плоскости

и в пространстве.

13.Формулы вычисления модуля вектора. Направляющие косинусы и их основные свойства.

14.Определение координаты точки. Вычисление координаты вектора если заданы координаты начала и конца.

15.Модуль вектора, когда заданы координаты начала и конца вектора. Формулы вычисления расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве.

16.Умножение числа на вектор, сложение(или вычисление) векторов, когда векторы заданы координатами.

17.Условие равенства и коллонеарности векторов, когда векторы заданы координатами.

18.Определение скалярного произведения векторов и его связь с проекцией вектора на ось.

19.Определение скалярного произведения и его геометрические и алгебраические свойства.

20.Скалярное произведение векторов и его связь формулой вычисления модуля вектора.

21.Скалярное произведение и формулы его вычисления, когда векторы заданы координатами.

22.Скалярное произведение векторов и его физическое приложение.

23.Формулы вычисления скалярного произведения, когда векторы заданы координатами.

24.Скалярное произведение и формулы вычисления угла между векторами, когда векторы заданы координатами.

25. Скалярное произведение и условие перпендикулярности векторов.

26. Определение векторного произведения и его геометрический смысл.

27.Определение векторного произведения и формулы его вычисления, когда векторы заданы координатами.

28.Условие коллинеарности векторов векторного произведения.

29.Формулы вычисления площади параллелограмма и треугольника, построенных над векторами.

30.Определение смешанного произведения и его геометрический смысл.

31.Формулы вычисления смешанного произведения, когда векторы заданы координатами.

32.Смешаное произведение векторов и его связь с комплонарностью векторов.

33.Формулы вычисления объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды построенной над векторами

Аналитическая геометрия

4.1.Аналитическая геометрия на плоскости.

1.Декартова и полярная система координат на плоскости и их взаимосвязь.

3.Определение понятия уравнения линии на плоскости:

а) линии первого порядка

б) линии второго порядка

4. Координатное и параметрическое уравнение линии и их взаимосвязь.

5.Координатное и параметрическое уравнение окружности.

6.Определения и уравнения:

а) циклоида

б) спирали Архимеда

7.Основные задачи аналитической геометрии.

8.Общее уравнение прямой на плоскости и его разновидности.

9.Алгебраическое уравнение первого порядка и его связь с прямой на плоскости.

10.Уравнение прямой в отрезках.

11.Каноническое уравнение прямой.

12.Направляющий и нормальный вектор прямой.

13.Параметрическое уравнение прямой.

14. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

15. Уравнение прямой, проходящее через две заданные точки.

16.Нормальное уравнение прямой.

17.Угол между двумя прямыми заданными общими уравнениями.

18.Условие параллельности перпендикулярности двух прямых заданными общими уравнениями.

19. Угол между двумя прямыми заданным угловым коэффициентом.

20.Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых заданными угловыми коэффициентами.

21.Формулы вычисления расстояния от точки до прямой.

22. Уравнение прямой, проходящее через данную точку перпендикулярно данному вектору.

23. Уравнение прямой проходящее через данную точку в данном направление.

24.Определение уравнения линии второго порядка на плоскости – общее уравнение линии 2-го порядка.

25.Определение линии окружности и ее каноническое уравнение.

26. Определение линии эллипса и его каноническое уравнение.

27.Основные характеристики эллипса.

28. Определение линии гиперболы и ее каноническое уравнение.

29. Основные характеристики линии гиперболы.

30. Определение линии параболы и ее каноническое уравнение.

31.Основные характеристики линии параболы.

4.2.Аналитическая геометрия в пространстве.

1.Понятие уравнение поверхности и линии в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору(с выводом). Частные случаи общего уравнения плоскости.

2.Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл параметров уравнения плоскости.

Уравнение плоскости ,проходящей через три точки(с выводом).Уравнение плоскости в отрезках.

3. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл параметров уравнения плоскости.

нормальное уравнение плоскости(с выводом).Расстояние от точки до плоскости.

4.Угол между двумя плоскостями(с выводом).Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

5. Общее уравнение прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой(с выводом). Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

6. Общее уравнение прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой. Угол между прямыми (с выводом). Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

7.Прямая и плоскость в пространстве. Угол между прямой и плоскостью (с выводом). Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости