Краткая теоретическая справка

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей, статистических данных – результатов наблюдений. Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов, относительно некоторого признака, характеризующего эти объекты.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называютсовокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью (ГС) называют совокупность объектов, из которой производится выборка.

Объёмом совокупности называют число объектов этой совокупности.

Обозначим через N – объем генеральной совокупности, а через n - объем выборки.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке ГС, необходимо, чтобы выборка правильно представляла пропорции ГС, то есть была представительной (репрезентативной). В силу закона больших чисел выборка будет представительной, если её осуществить случайно, при этом каждый объект выборки, случайно отобранный из ГС, должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборку.

Выборка называется повторной, если отобранный объект возвращается в ГС и бесповторной, если не возвращается.

Замечание. Если объём ГС велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различия между повторной и бесповторной выборками стираются.

На практике применяются различные способы отбора, их делят на 2 вида:

1) отбор, не требующий расчленения ГС:

а) простой случайный бесповторный отбор,

б) простой случайный повторный отбор;

2) отбор, при котором ГС разбивают на части:

а) типический,

б) механический,

в) серийный.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из ГС.

Типическим называют такой отбор, при котором объекты отбираются не из всей ГС, а из каждой её типической части. Этим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях ГС.

Механическим называют такой отбор, при котором ГС делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а затем, из каждой группы выбирают один объект.

Серийным называют отбор, при котором объекты выбирают из ГС не по одному, а серией. Этим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных типических частях незначительно.

Так как математическая статистика опирается на теорию вероятностей и её цель – оценить характеристики ГС по выборочным данным, то ГС называют вероятностное пространство <Ω,A,P> и определённая на этом пространстве случайная величина X. Единицей ГС называют элементарное событие и отвечающее ему значение случайной величины.

Оценкой числового параметра называют функцию выборочных значений , которая в определённом статистическом смысле близка к истинному значению этого параметра. Близость определяется свойствами: несмещенности, состоятельности, эффективности.

Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание как случайной величины равно истинному значению параметра.

Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к истинному значению параметра, т.е.

.

Оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию в определённом классе оценок.

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема , причём значение x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂ раз,…, x_k - n_k раз; где .

Варианты, записанные в порядке возрастания, образуют вариационный ряд.

Статистическим распределением выборки называется перечень всевозможных вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Замечание. Если признак непрерывный, то статистическое распределение можно задать в виде последовательности интервалов, и соответствующих им частот.

Пусть известно статистическое распределение частот признака X, и пусть n_x- число наблюдений, при которых признак .

Эмпирической функцией распределения называют функцию F_x^*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события {X<x}, т.е. F_x^*(x) .

Свойства эмпирической функции распределения:

1)Для любого x 0 ≤ F_x^*(x) ≤ 1;

2) F_x^*(x)-неубывающая функция;

3) если x₁- наименьшая варианта, то при x ≤ x₁ F_x^*(x)=0; если x_k- наибольшая варианта, то при x > x_k F_x^*(x)=1.

Замечание. Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂),…( x_k, n_k),а полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки: (x₁, w₁), (x₂, w₂),…, ( x_k, w_k), где w_i= , i=1, …, k.

При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h, и находят n_i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Гистограммой частот (относительных частот) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны плотности частоты (плотности относительной частоты ).

Длину частичного интервала находят по формуле , где R=x_наиб.-x_наим. – размах варьирования, m-число частичных интервалов, которое определяется по формуле Стерджесса .