|
|
Статистические оценки параметров распределения.Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки. Например, x1, x2, … , xn получены в результате n наблюдений. Рассматривая эти значения как независимые случайные величины X1, X2, … , Xn можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и даёт приближённые значения оцениваемого параметра. Таким образом, статистической оценкой или просто оценкой числового параметра θ называется функция выборочных значений Статистические оценки бывают точечными и интервальными. Точечные оценки это оценки, которые определяются одним числом, а интервальные – двумя числами – концами интервалов. Путь изучается дискретная генеральная совокупность объема Генеральной средней
Т. о. генеральная средняя – есть средняя взвешенная значений признака с весами равными соответствующим частотам. Генеральная средняя есть не что иное, как мат. ожидание случайной величины. Пусть для изучения генеральной совокупности, относительно признака X извлечена выборка объёма n. Выборочной средней
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их среднего значения:
Если дана выборка, то можно найти выборочную дисперсию: Выборочная дисперсия является смещённой, эффективной, состоятельной оценкой Выборочное среднеквадратическое отклонение: Допустим, что все значения признака X разбиты на несколько групп. Тогда групповой средней Общей средней Зная групповые средние и объёмы групп, можно найти общую среднюю, которая равна среднему арифметическому групповых средних, взвешенных по объёмам групп.
Групповой дисперсией Теорема: Дисперсия равна разности среднего арифметического квадрата значений признака и квадрата среднего арифметического, т.е. Внутригрупповой дисперсией называют среднее арифметическое групповых дисперсий взвешенных по объёмам групп.
Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общих средних.
Общей дисперсией называют дисперсию значений признаков всей совокупности, относительно общей средней.
Теорема: Общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.
Условные варианты. Если первоначальные варианты xi – большие числа, то для упрощения расчётов целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число C , которое называют ложным нулём, то есть перейти к условным вариантам
Замечание: Если вариационный ряд представим в виде равноотстоящих вариант
Интервальные оценки. Доверительная вероятность. Ранее было сказано, что точечной называется оценка, которая определяется одним числом. Все вышерассмотренные оценки точечные. При выборке малого объёма, точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, то есть приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объёме выборки пользуются интервальными оценками. Оценка называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Это означает, что чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, δ характеризует точность оценки. Однако, статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки Таким образом,
Имеем Интервал Рассмотрим некоторые доверительные интервалы для оценки неизвестных параметров. 1)Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном Задача: Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём среднеквадратическое отклонение этого распределения известно. Из генеральной совокупности произведена выборка объема Такой доверительный интервал имеет вид: Значение Замечание:
2) Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном Задача: Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём среднеквадратическое отклонение этого распределения не известно. Из генеральной совокупности произведена выборка объема Такой доверительный интервал имеет вид: Значение 3) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального распределения при известном математическом ожидании. Задача: Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём математическое ожидание этого распределения известно. Из генеральной совокупности произведена выборка объема Такой доверительный интервал имеет вид: 4) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального распределения при неизвестном математическом ожидании. Задача: Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём математическое ожидание этого распределения не известно. Из генеральной совокупности произведена выборка объема Такой доверительный интервал имеет вид: 5) Доверительный интервал для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте. Задача: Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет биномиальное распределение, причём вероятность появления события А при каждом испытании не известно. Из генеральной совокупности произведена выборка объема Такой доверительный интервал имеет вид:
где Замечание. При больших значениях Помимо рассмотренного метода нахождения доверительного интервала, покрывающего неизвестную вероятность p появления события А с надежностью
|
|
, которая в определенном статистическом смысле близка к истинному значению этого параметра. Для того чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемым параметрам, они должны быть несмещёнными, состоятельными, эффективными.
, относительно количественного признака X.
называют среднее арифметическое значение признака генеральной совокупности.
- для не повторяющихся значений признака;
- для повторяющихся значений признака.
называют среднее арифметическое значение признака в выборочной совокупности.
- для не повторяющихся значений признака в выборке;
- для повторяющихся значений признака в выборке.
является точечной оценкой 
, которая является несмещённой, эффективной, состоятельной.
- генеральное среднеквадратическое отклонение. 
является смещённой, эффективной, состоятельной оценкой 
. Исправленное среднеквадратическое отклонение: 
есть несмещённая, эффективная, состоятельная оценка 
называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих этой группе: 
, где 
– объем j–ой группы, 
- частоты значений 
.
называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.
, где 
- групповой средней j–ой группы, 
- объем всей совокупности
называют дисперсию значений признака, принадлежащих j группе относительно групповой средней: 
.
, то тогда условные варианты можно найти по формуле:
служит оценкой неизвестного параметра 
. Тогда 
, т.е. существует 
такое, что 
.
, с которой это неравенство осуществляется.
по 
называют вероятность 
, с которой осуществляется неравенство (1). Обычно надёжность оценки задаётся наперёд, причём в качестве 
. Раскроем модуль 
или
.
.
называют доверительным интервалом, покрывающим неизвестный параметр 
.
по выборочной средней, то есть найти доверительный интервал, покрывающий параметр 
.
находим из того, что 
, где 
- интегральная функция Лапласа, она табулирована (см приложение №2).
точность оценки;
минимальный объём выборки, который нужно произвести при вышеуказанных условиях.
, где 
- исправленное среднеквадратическое отклонение.
найходим из того, что случайная величина 
распределена по закону Стьюдента или Т-распределению с k=n-1 числом степеней свободы. Эта случайная величина табулирована см приложение 3.
с надёжностью 
, где 
- исправленное среднеквадратическое отклонение; 
и 
являются квантилями 
-распределение с 
степенями свободы, определяемые по таблице квантилей 
распределения 
, где 
и 
(см приложение 5).
, где 
и 
являются квантилями 
степенями свободы, определяемые по таблице квантилей 
. Требуется найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность p появления события А с надежностью 
, где
.
.
, где 
.