|
|
Выборочное корреляционное отношение.Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками выборки служит выборочный коэффициент корреляции. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи используют выборочные корреляционные отношения. Выборочным корреляционным отношением Y к X (обозначают
Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение X к Y: среднеквадратическое;
Свойства выборочного корреляционного отношения: 1) 2) Если 3) Если 4) 5) Если С учётом вышесказанного можно сделать вывод, что корреляционное отношение служит мерой тесноты связей любой, в том числе и линейной формы. Однако, корреляционное отношение не позволяет судить насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений к кривой определённого вида, то есть корреляционное отношение не указывает на форму связи между признаками. По отношению к выборочному коэффициенту корреляции, который указывает и на форму, и на меру тесноты линейной связи. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции. Пусть имеется выборка объема n из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х,Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции Образец выполнения лабораторной работы №6 Экономист, изучая зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации работ X (%), обследовал 10 однотипных предприятий и получил следующие данные (табл.).
Полагая, что между признаками X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определите выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции. Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделайте вывод о направлении и тесноте связи между X и Y. Значим ли выборочный коэффициент корреляции при уровне значимости α=0,05? Решение Построим диаграмму рассеяния. Для этого на плоскости xOy отметим точки с координатами (xi ; yi).
По диаграмме рассеяния видно, что точки (xi ; yi) группируются около некоторой прямой. Поэтому выборочное уравнение линейной регрессии будем искать в виде y = a∙x+b. Параметры a и b найдем методом наименьших квадратов. Составим систему нормальных уравнений:
Вспомогательные вычисления проведем в таблице 8: Таблица 8
Итак, система нормальных уравнений имеет вид:
Решим её методом Крамера. Определитель системы
Выборочное уравнение линейной регрессии имеет вид y=0,506819∙x+9,73586. Чтобы построить линию регрессии найдем координаты двух точек, принадлежащих прямой y=0,506819∙x+9,73586. При x=35 y=0,506819∙35+9,73586=27,474529≈27,5. При x=75 y=0,506819∙75+9,73586=47,747292≈47,7. Линия регрессии – прямая, проходящая через точки (35; 27,5) и (75;47,7).
Выборочный коэффициент линейной корреляции найдем по формуле
Так как выборочный коэффициент линейной корреляции Найдем Ответ: уравнение регрессии y=0,506819∙x+9,73586; связь между признаками x и y тесная, положительная. выборочный коэффициент линейной корреляции Контрольные вопросы для защиты лабораторной работы №6 1. Понятие функциональной зависимости. 2. Понятие статистической зависимости. 3. Понятие корреляционной зависимости. 4. Основные задачи теории корреляции. 5. Уравнения регрессии. 6. Уравнение прямой линии регрессии (вывод). 7. Коэффициент корреляции, его свойства. 8. Корреляционное отношение, его свойства и смысл. 9. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ Лабораторная работа №4 Задание 1 Дано распределение признака X (см. таблицы 9 и 10) Требуется: а) построить полигон частот; б) найти в) считая, что признак X распределен нормально, найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с надежностью γ. Серия А Таблица 9
Серия Б Таблица 10
Задание 2 В таблицах 11 и 12 дано статистическое распределение признака Х. Построите гистограмму частот, используя формулу Стерджесса. Серия А Таблица 11
Серия Б Таблица 12
Задание 3 В задании 3 задачу решите методом φ. Серия А Вариант 1. В публицистическом тексте из 526 слов глагол встретился 75 раз. С надежностью Вариант 2. Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью Вариант 3. При 40 выстрелах стрелок попал в цель 26 раз. Определить границы доверительного интервала для вероятности попадания в цель одним выстрелом при надежности Вариант 4. В процессе независимых испытаний 60 образцов изделий у 15 из них наблюдался отказ. Определить границы доверительного интервала для вероятности отказа при Вариант 5. Из партии электрических лампочек выбрано и проверено 500 штук. Среди них оказалось 150 нестандартных. Определить границы доверительного интервала для вероятности появления нестандартной лампочки при извлечении ее из всей партии при надежности Вариант 6. Для определения токсической дозы яд был введен 50 мышам, 12 из которых погибли. Определить границы доверительного интервала для вероятности того, что данная доза окажется смертельной, при надежности Вариант 7. Из партии деталей проверено 250 и оказалось, что 80% имеет высшее качество. Определить границы доверительного интервала для вероятности того, что деталь окажется высшего качества при надежности Вариант 8. При 50 выстрелах стрелок попал в цель 40 раз. Определить границы доверительного интервала для вероятности попадания в цель одним выстрелом при надежности Вариант 9. В публицистическом тексте из 450 слов глагол встретился 70 раз. С надежностью Вариант 10. Для определения токсической дозы яд был введен 45 мышам, 20 из которых погибли. Определить границы доверительного интервала для вероятности того, что данная доза окажется смертельной, при надежности Серия Б Вариант 1.В процессе независимых испытаний 100 образцов изделий у 30 из них наблюдался отказ. Определить границы доверительного интервала для вероятности отказа при Вариант 2. При 60 выстрелах стрелок попал в цель 45 раз. Определить границы доверительного интервала для вероятности промаха одним выстрелом при надежности Вариант 3. Из партии деталей проверено 320 и оказалось, что70% имеет высшее качество. Определить границы доверительного интервала для вероятности того, что деталь окажется высшего качества при надежности Вариант 4. В публицистическом тексте из 385 слов глагол встретился 65 раз. С надежностью Вариант 5. В процессе независимых испытаний 85 образцов изделий у 30 из них наблюдался отказ. Определить границы доверительного интервала для вероятности не отказавших изделий при Вариант 6. Для определения токсической дозы яд был введен 65 мышам, 20 из которых погибли. Определить границы доверительного интервала для вероятности того, что данная доза окажется смертельной, при надежности Вариант 7. Среди 180 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 15 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью Вариант 8. Из партии электрических лампочек выбрано и проверено 325 штук. Среди них оказалось 120 нестандартных. Определить границы доверительного интервала для вероятности появления стандартной лампочки при извлечении ее из всей партии при надежности Вариант 9. При 35 выстрелах стрелок попал в цель 20 раз. Определить границы доверительного интервала для вероятности попадания в цель одним выстрелом при надежности Вариант 10. В публицистическом тексте из 620 слов глагол встретился 100 раз. С надежностью
Лабораторная работа №5 Задание 1 Серия А Из большой партии изделий берут на пробу n=4 изделия. Известно, что доля дефектных изделий во всей партии равна Таблица 13
При уровне значимости Серия Б Доля дефектных деталей составляет Таблица 14
При уровне значимости Задание 2
При уровне значимости Серия А Таблица 15
Серия Б Таблица 16
Задание 3 |
|
) называют отношение межгруппового среднеквадратического отклонения к общему среднеквадратическому отклонению признака Y: 
, где 
– межгрупповое среднеквадратическое отклонение
- общее среднеквадратическое отклонение признака Y
- межгрупповое отклонение
- общее среднеквадратическое отклонение
, то признак Y с признаком X корреляционной зависимостью не связаны.
, то признак Y с признаком X связан функциональной зависимостью.
, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.
. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции: 
при конкурирующей гипотезе 
. Критерием является случайная величина 
, имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с 
степенями свободы. Критическая область при заданном виде конкурирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством 
, где 
находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.
.
.
.
.
, 
.
, где 
– наблюдавшиеся значения признаков X и Y; 
– объём выборки; 
– выборочные средние; 
– выборочные среднеквадратические отклонения.
. 
.
.
.
.
, то корреляция положительная, т. е. с возрастанием x возрастает и y. Так как 
очень близко к единице, то связь между признаками x и y тесная. Выясним значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого найдем наблюдаемое значение критерия 
.
, используя таблицу «критические точки распределения Стьюдента» (приложение 4). Имеем 
. Так как 
, то выборочный коэффициент корреляции значим.
значим.
;
=0.975 найти доверительный интервал для вероятности появления глагола в произвольном публицистическом тексте, если число появления глагола имеет биномиальное распределение.
. Провели 
серий испытаний и получили эмпирическое распределение (данные приведены в таблице 5: в первой строке указаны варианты; в первом столбце даны значения признака, число опытов и вероятность «успеха»):
проверить нулевую гипотезу о биномиальном распределении. На одной координатной плоскости построить полигоны частот для эмпирического и теоретического распределений. Сравнить.
. Производится 
испытаний и