Образец выполнения лабораторной работы №4

Задание 1

Дано распределение признака X:

Требуется: а) построить полигон частот;

б) найти ;

в) считая, что признак X распределен нормально, найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с надежностью .

Решение

а) Построим полигон частот. Для этого одну координатную ось возьмем за , например, ось Ох, а другую – за . Затем построим точки с координатами ( , ), которые соединим отрезками. Полученная ломанная и будет полигоном частот.

б) Для того чтобы найти числовые характеристики признака проведем вычисления в таблице Excel с использованием условных вариант.

Таблица 1

i
			-3	-15	-2,4	28,8	-69,12	165,888
			-2	-16	-1,4	15,68	-21,952	30,7328
			-1	-12	-0,4	1,92	-0,768	0,3072
					0,6	5,4	3,24	1,944
					1,6	17,92	28,672	45,8752
					2,6	20,28	52,728	137,0928
Σ				-30			-7,2	381,84

Так как значения признака равностоящие, то условные варианты находим по формуле: , где С – ложный ноль, - шаг.

В качестве ложного нуля возьмем варианту 35, у которой самая большая частота, .

Среднее значение признака найдем по формуле: .

Тогда .

Дисперсию найдем по формуле: .

Тогда .

Среднеквадратическое отклонение найдем по формуле:

Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:

Коэффициент вариации равен:

.

Так как коэффициент вариации меньше 100%, то рассматриваемые значения признака однородные.

Коэффициент асимметрии найдем по формуле: ,

где - эмпирический центральный момент третьего порядка.

Имеем , тогда

Так как коэффициент асимметрии отрицательный, то левая ветвь статистического распределения длиннее правой относительно среднего.

Эксцесс найдем по формуле: , где - эмпирический центральный момент четвертого порядка.

Имеем , тогда

Так как эксцесс отрицательный, то статистическое распределение более сглажено по сравнению с плотностью нормального распределения.

Мода это варианта, у которой самая большая частота. Поэтому .

Медиана это варианта, которая делит вариационный ряд пополам. Так как 50 (объем распределения) пополам это 25, то, отсчитывая частоты в распределении слева направо и справа налево, получаем, что .

в) Так как признак X распределен нормально и неизвестно, то доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с надежностью найдем по формуле: . По приложению 3 находим значение . Так как , то имеем

или

или

.

Таким образом, .

Задание 2

Дано распределение признака X:

	1,2	1,3	1,7	2,2	2,4	3,2	3,3	3,8	4,0	4,2

Построить гистограмму частот.

Решение

Представим распределение признака X в виде распределение частичных интервалов, для этого найдем длину частичного распределения по формуле:

. M определим по формуле Стерджесса: .

Имеем , тогда

.

.

Дальнейшие вычисления проводим в таблице 2.

Таблица 2

i		частота интервала	плотность частоты
	0,765-1,635		5,747126
	1,635-2,505		9,195402
	2,505-3,375		8,045977
	3,375-4,245		10,34483
	4,245-5,115		3,448276
	5,115-5,985		13,7931
	5,985-6,855		3,448276
	6,855-7,725		3,448276
Σ

Таким образом, гистограмма имеет вид:

Задание 3

Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность p изготовления станком нестандартной детали. Решить двумя способами. Сделать вывод.

Решение

Пусть X – число нестандартных деталей среди изготовленных станком-автоматом.

Так как n=250 достаточно велико, то для нахождения доверительного интервала воспользуемся следующей формулой: , где и .

Так как , то по приложению 2 находим значение параметра :

Относительная частота появления нестандартной детали равна , тогда

;

.

Таким образом, .

Решим эту задачу методом : , где и .

;

.

;

.

Таким образом, .

Замечаем, что интервалы, найденные двумя способами достаточно близки.

Контрольные вопросы для защиты лабораторной работы №4

1. Виды отбора. Понятие оценки, ее свойства. Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Полигон и гистограмма частот.

2. Точечные оценки параметров распределения: . Теорема об общей дисперсии. Мода и медиана.

3. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия нахождения точечных оценок параметров распределения.

4. Непрерывные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание нормально распределенного признака ГС с надежностью , если известно.

5. Непрерывные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание нормально распределенного признака ГС с надежностью , если неизвестно. Распределение Стьюдента.

6. Непрерывные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления события при одном исходе биномиального распределения ГС с надежностью Метод .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Тема: Нахождение теоретических (варьирующих) частот. Проверка гипотез о распределении признака. Критерий согласия Пирсона.

Цель:1. Нахождение теоретических частот.

2. Построение кривой распределения.

3. Проверка гипотезы о распределении признака.

Требование к работе

1. Работу провести с использованием таблиц Exсel.

2. Работу распечатать в формате А-4.

3. Ответить на контрольные вопросы и защитить.