МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB: Учеб. пособие/Д. Л. Егоренков, А. Л. Фрадков, В. Ю. Харламов; Под ред. д-ра техн. наук А. Л. Фрадкова; БГТУ. СПБ, 1994. 4 с. ISBN 5-85546-010-Х.

Рассмотрены основные понятия и методы математического моделирования. Дана классификация основных структур математических моделей систем, а также подходов к выбору структуры и параметров модели. Описаны асимптотические и численные методы статического и динамического анализа моделей. Приведены описание и примеры применения программной среды MATLAB, ставшей международным стандартом учебного программного обеспечения в области мате­матического моделирования, а также работающего в этой среде пакета ADAM для анализа дифференциально-алгебраических моделей.

Предназначено для аспирантов, слушателей факультетов повышения квалификации и студентов, изучающих курсы «Основы математического моделирования», «Методы исследования технических систем на ЭВМ», «Основы научных исследований», «Теоретические основы САПР», а также для преподавателей и инженеров, интересующихся вопросами ма­тематического моделирования.

Ил. 29, Табл. 9. Библиогр.: 85 назв.

Утверждено

редакционно-издательским

советом БГТУ

Рецензенты: кафедра автоматики и телемеханики СПИТМС

(зав. каф. д-р техн. наук, проф В. В. Григорьев);

д-р техн. наук, проф. Н. Д. Поляков

«Забудь начало - лишишься конца»

Б. Гребенщиков

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическое моделирование — это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей объектов и процессов. Математическим моделированием занимался, в сущности, каждый, кто применял математику на практике, начиная от великих ученых древности и кончая школьником, решающим задачи «на составление уравнений». Однако в самостоятельную научную дисциплину математическое моделирование оформилось лишь в последние несколько десятилетий, в связи с распространением и широким применением ЭВМ. Нельзя отождествлять математическое моделирование с прикладной математикой, имеющей дело, как и любой раздел математики, лишь с математическими объектами. Предмет математического моделирования шире и связан, в первую очередь, с формализацией и интерпретацией формальных результатов. Иными словами, началом и концом процесса математического моделирования является окружающая действительность.

Центральным понятием математического моделирования является математическая модель (ММ) — совокупность математических объектов и отношений, отображающих объекты и отношения некоторой области реального мира (предметной области). Выделяют три этапа математического моделирования: построение ММ (формализация задачи), исследование (анализ модели) и использование (синтез решения). Этап формализации тесно связан с научно-инженерной дисциплиной, именуемой системным анализом [1—3]. На этом этапе решаются так называемые «прямые» задачи: по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Для этапа синтеза, наоборот, характерны «обратные» задачи: определение входов системы по заданным (желаемым) знаниям ее выходов. Использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования [4], исследования [5], проектирования [6, 7], управления [8, 9].

Сравнение большого числа различных подходов и методов показывает (см. [10—19]), что многие ММ и методик: их применения не зависят от конкретной области приложения. Другими словами, одни и те же математические модели и методы могут одинаково применяться в различных областях и для различных целей. Это обстоятельство определяет внутреннее единство предмета математического моделирования и его место в системе подготовки специалиста. Курс «Математическое моделирование» («Применение математических методов для решения инженерных задач») должен опираться на курс высшей математики и предшествовать курсам специальной подготовки.

Однако подобные дисциплины в учебных планах большинства вузов появляются лишь на последних годах обучения или даже в планах постдипломной подготовки (аспирантура и переподготовки _(курсы повышения квалификации). Эта тенденция сохраняется и при переходе на многоступенчатую систему образования. С учетом этого и в силу ограниченности объема пособия выбран обзорный стиль изложения более подробно даются определения и свойства понятий, методы исследования (решения задач), как правило, лишь перечисляются со ссылкой на литературу. В то же время важной частью курса являются примеры. Ведь овладеть математическим моделированием — это значит научиться решать задачи, а, как известно, единственный способ научиться решать задачи — это решать их.

Пособие состоит из трех частей. Часть I является исправленным и дополненным вариантом [20] и посвящена вопроса: построения математических моделей, выбора ее структур и параметров. В части II излагаются методы асимптотического и численного анализа статических и динамических режимов непрерывных моделей, описываемых дифференциальными уравнениями. В пособии не затрагиваются вопрос анализа дискретных моделей, с которыми можно ознакомиться, например, по книгам [12, 13, 24, 26, 32], а также вопросы синтеза решения, которым посвящена обширная литература по методам оптимизации и принятия решений (см. например, [1, 6—9, 25—31]).

Третья часть посвящена программной поддержке математического моделирования. Современный подход к этой проблеме состоит в применении так называемых программы сред, предоставляющих пользователю набор функциональных (расчетных) и сервисных возможностей, допускающих расширение с учетом специфики решаемых задач. Описывается одна из наиболее популярных программных сред MATLAB, разработанная фирмой The MathWorks, Inc. и ставшая фактически международным стандартом учебного программного обеспечения в областях линейной алгебры, теории систем, теории управления, обработки сигналов и ряда других. Приводятся примеры решения задач в среде MATLAB, в том числе с применением пакета анализа дифференциально-алгебраических моделей ADAM. Пакет ADAM является оригинальной разработкой [61, 62] и обладает полной языковой и программной совместимостью с системой MATLAB. Язык пакета ADAM позволяет описывать нелинейные непрерывные и дискретные динамические системы со связями и задания на имитационное моделирование, линеаризацию и дискретизацию систем.

Материал учебного пособия основан на лекциях и практических занятиях, проводившихся авторами в течение ряда лет для студентов, аспирантов и на ФПК преподавателей по информатике Балтийского государственного технического университета. Главы 1, 2 части II написаны Д. Л. Егоренковым; часть I и глава 3 части II—А.Л. Фрадковым; часть III (кроме главы 5) — В.Ю. Харламовым; глава 5 части III — Д.Л. Егоренковым, А. А. Спиридоновым и А. Л. Фрадковым. В учебном пособии отражены также некоторые результаты НИР, проводившихся по гранту 93—013—16322 Российского фонда фундаментальных исследований и по проекту НДС-10 программы «Нелинейные динамические системы: качественный анализ и управление» Госкомитета Российской Федерации по высшему образованию.

Учебное пособие может быть использовано при подготовке бакалавров, магистров и докторов, а также при переподготовке и повышении квалификации специалистов в курсах «Основы математического моделирования», «Основы научных исследований», «Применение математических методов в инженерных расчетах», «Теоретические основы САПР». Оно может оказаться полезным для инженеров и преподавателей, интересующихся применением математических методов и компьютеров в различных областях науки и технологии.

Часть I ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ