Понятие системы. Примеры систем

Базовым понятием математического моделирования является понятие системы [1—3, 21, 22]. Система в широком смысле — эквивалент понятия математической модели и задается парой множеств U, Y (U — множество входов, Y — множество выходов) и отношением[1] на , формализующим связь (зависимость) между входами и выходами.

Соединение систем также является системой и задается отношением. Например, последовательное соединение систем , есть отношение такое, что , если существуют , удовлетворяющие условиям , , , где — отношение, определяющее связь между[2] и . Таким образом можно определять сколь угодно сложные си­стемы, исходя из простых.

Приведенное определение отражает в абстрактном виде атрибуты (свойства), присущие нашему интуитивному представлению о системе: целостность и структурированность [1].

Целостность (единство) означает, что система отделена от внешней среды; среда может оказывать на нее действие (акцию) через входы и воспринимать отклик (реакцию) на эти действия через выходы.

Структурированность означает, что система разделена внутри на несколько подсистем, связанных и взаимодействующих между собой так же, как целая система взаимодействует с внешней средой.

Третье свойство, присущее системе, — целенаправленность — требует задания некоторой цели, достижение которой говорит о правильной работе системы.

Приведем для сравнения другие, менее формальные определения системы.

Система — объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, а также знаний о природе и обществе (БСЭ. Т. 39. С. 158).

Рис. 1.1

Система — совокупность взаимосвязанных элементов (объектов, отношений), представляющих единое целое. Свойства системы могут отсутствовать у составляющих ее элементов [4].

Приведенное выше формальное определение весьма общо; под него подпадают практически все виды математических мо­делей систем: дифференциальные и разностные уравнения, регрессионные модели, системы массового обслуживания, конечные и стохастические автоматы, дедуктивные системы (исчисления) и т.д. Можно трактовать как систему любой пре­образователь входных данных в выходные («черный ящик») (рис. 1.1,а). Например, системой можно назвать процесс решения любой задачи. При этом входами будут являться ис­ходные данные, выходами — результаты, а целью — правильное решение (рис. 1.1,б). Такой подход к системе подчер­кивает ее целенаправленность и ведет свое происхождение от исследования операций [14] — научной дисциплины, зани­мающейся разработкой количественных методов обоснования решений. Основное понятие здесь — операция: действие, которое подвергается исследованию (проектирование, конструи­рование, управление, экономическая деятельность и т.д.). Операция соответствует некоторой системе. Входами этой системы являются элементы принимаемого решения, о проводимой операции, выходами — результаты проведения операции (показатели ее эффективности (рис. 1.1,в)). Для развития навыков системного подхода полезно искать примеры систем в окружающем мире. Некоторые примеры представлены в табл. 1.1.[3]

Подчеркнем, что функционирование системы — это процесс, разворачивающийся во времени, т. е. множества возможных входов и выходов U, Y — это множества функций времени со значениями соответственно в множествах U, Y:

, ,

где Т — множество моментов времени, на котором рассматривается система.

Система называется функциональной (определенной), если каждой входной функции u(t) соответствует единственная выходная функция y(t). В противном случае система называется неопределенной. Неопределенность обычно возникает из-за неполноты информации о внешних условиях работы системы. Важным свойством, присущим реальным си­стемам, является причинность. Она означает, что если входные функции и совпадают при , т.е. при , то соответствующие выходные функ­ции удовлетворяют условию , т. е. «настоящее не зависит от будущего при заданном прошлом».

Числовые величины, связанные с системой, делятся на переменные и параметры. Параметры — это величины, кото­рые можно считать постоянными на промежутке времени рассмотрения системы. Остальные числовые величины являются переменными. Значения переменных и параметров определяют количественную информацию о системе. Оставшаяся информация, т.е. качественная, определяет структуру системы. Различие между переменными и параметрами, а также между параметрами и структурой может быть условным, однако оно полезно в методическом отношении. Так, типовым приемом построения ММ системы является параметризация — выбор в качестве ММ семейства функций, зависящих от конечного (обычно небольшого) количества чисел — параметров.

Таблица 1.1

Примеры систем

№ п/п	Система	Вход	Выход	Цель
	Радиоприем­ник	Радиоволны	Звуковые волны	Неискажен­ный звук
	Проигрыва­тель	Колебания иглы	"	"
	Термометр	Т° воздуха (Т)	Высота столбика (h)	Верное пока­зание
	Водопроводный, кран	Поворот ручки (угол φ)	Струя воды (расход G)	Заданный расход
	Ученик	Лекция учителя, текст в учебнике, книги, кино, телевизор	Отметки, знания, поступки	Хорошие отметки, хорошие поступки, хорошие знания
	Учитель	План урока, ответы учеников	Лекции, задачи для контрольной, отметки	"
	Робот	Команды	Движения	Точное испол­нение команд
	Популяция зайцев в лесу	Пища	Численность	Максимальная численность
	Популяция лис в лесу	"	"	"
	Программа ЭВM решения уравнения ax2+bx + c=0	Коэффициенты а, b, с. Точность Е	.	Решение с заданной точ­ностью
	Задача реше­ния уравнения ахг+bх + с=0	а, b, с	Формула	Правильная формула
	Электромотор	Электрический ток	Вращение ротора	Вращение с заданной частотой
	Костер	Дрова	Тепло, свет	Заданное количество тепла и света
	Торговля	Продукты, вещи	Деньги	Получение суммы денег = стоимости товара
	Бюрократ	Бумажка	Бумажка	Зарплата

Этапы системного анализа

Системный анализ в широком смысле — это методология (совокупность методических приемов) постановки и решения задач построения и исследования систем, тесно связанная с математическим моделированием. В более узком смысле системный анализ — методология формализации сложных (трудно формализуемых, плохо структурированных) задач. Системный анализ возник как обобщение приемов, накопленных в задачах исследования операций и управления в технике, экономике, военном деле.

Остановимся на различии в употреблении терминов «системный анализ» и «системный подход» [4]. Системный анализ — это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление исследуемого объекта в виде системы. Системный анализ характеризуется упорядоченным составом методических приемов исследования. Что касается термина «системный подход», то традиция его применения связывает его с исследованиями проводимыми многоаспектно, комплексно, с разных сторон изучая предмет или явление. Этот подход предполагает, что все частные задачи, решаемые на уровне подсистем, должны быть увязаны между собой и решаться с позиции целого (принцип системности). Системный анализ — более конструктивное направление, содержащее методику разделения процессов на этапы и подэтапы, систем на подсистемы, целей на подцели и т.д.

В системном анализе выработана определенная последовательность действий (этапов) при постановке и решении задач, которую будем называть алгоритмом (методикой) системного анализа (рис. 1.2). Эта методика помогает более осмысленно и грамотно ставить и решать прикладные задачи. Если на каком-то этапе возникают затруднения, то нужно вернуться на один из предыдущих этапов и изменить (модифицировать) его.

Рис. 1.2

Если и это не помогает, то это значит, что задача оказалась слишком сложной и ее нужно разбить на несколько более простых подзадач, т.е. провести декомпозицию (см. подразд. 1.3). Каждую из полученных подзадач решают по той же методике. Для иллюстрации применения методики системного анализа приведем пример [18].

Пример. Рассмотрим автомобиль, находящийся перед гаражом на некотором расстоянии от него (рис. 1.3, а). Требуется поставить автомобиль в гараж и сделать это, по возможности, наилучшим образом. При решении попытаемся руководствоваться алгоритмом системного анализа (см. рис. 1.2).

Рис. 1.3

Этап 1. Система: автомобиль и гараж (автомобиль, приближающийся к гаражу).

Этап 2. Вход: сила тяги двигателя. Выход: пройденный путь.

Этап 3. Цель: автомобиль должен проехать заданный путь и затормозить.

Этап 4. Построение ММ начинается с обозначения всех величин (переменных и постоянных), существенных для задачи. Введем следующие обозначения:

u(t)—сила тяги в момент времени t (вход);

y(t)—путь, пройденный к моменту t (выход);

у* — расстояние от автомобиля до гаража (параметр).

Затем выписываются все уравнения и соотношения, существующие между введенными величинами, как в школьных задачках на составление уравнений. Если возможных уравнений несколько, выбирают простейшее. В нашей задаче — это уравнение динамики (2-й закон Ньютона):

, (1.1a)

где m — масса автомобиля, а также начальные условия[4]

=0, =0. (1.1б)

Этап 5. Модель (1.1) достаточно хорошо изучена и в детальном анализе не нуждается. Укажем лишь, что она адекватна, если можно пренебречь размерами автомобиля, огра­ничением на его мощность, силами трения и сопротивления и другими более второстепенными факторами.

Этап 6. Простейший вариант формализации цели

, (1.2)

где — момент остановки — оказывается неудовлетворительным, поскольку в (1.2) не формализовано само требование остановки ( )=0 и, значит, неясно, как система будет вести себя при . Правильнее задать цель соотношением

при , (1.3)

из которого следует, в частности, что y(t)—0 при t>t*.

На первый взгляд, задача поставлена и можно переходить к ее решению, т.е. к этапу 8. Но, оказывается, однозначного решения задача не имеет: здравый смысл говорит о том, что существует бесконечно много способов достичь цели (1.3). Значит, нужно дополнить цель правилом отбора способов, позволяющим отвечать на вопрос: какой способ лучше. Зададимся следующим разумным правилом: тот способ считается лучшим, который быстрее приводит к цели. Формально новую цель можно записать так:

при , (1.4)

Но теперь физические соображения показывают, что решение поставленной задачи тривиально: искомый минимум в (1.4) равен нулю! Действительно, выбрав достаточно большую силу тяги, можно придать автомобилю как математическому объекту, описываемому ММ (1.1), сколь угодно большое ускорение и сколь угодно быстро[5] переместить его на любое заданное расстояние. Видимо, требуется ввести какие-то ограничения, исключающие бессмысленные решения. Можно было бы усложнить ММ системы: учесть ограниченную мощность двигателя, его инерционность, силы трения и т.д. Однако разумнее попытаться остаться в рамках ММ (1.1) (1.4), введя дополнительно лишь ограничения на силу тяги

(1.5)

Таким образом, чтобы придать задаче смысл, нам пришлось возвратиться на этап 7.

Этап 8. Для решения задачи можно было бы применить мощный и хорошо разработанный аппарат теории оптимального управления (вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и др., см., например [9, 35]). Однако сначала надо попытаться решить задачу элементарными средствами. Для этого часто бывает полезно перейти к геометрической интерпретации задачи, чтобы привлечь нашу геометрическую интуицию. Естественная интерпретация (рис. 1.3, б) не дает ключа к решению, так как не позволяет в удобной форме представить ограничения на допустимые траектории движения автомобиля. Дело меняется коренным образом, если перейти к другой ММ. Введем новую переменную: (скорость). Тогда вместо (1.1) возникает уравнение

, , (1.6)

цель (1.4) запишется в виде

, (1.7)

а ограничения (1.5) превратятся в ограничения на скорость изменения новой переменной:

(1.8)

Итак, мы изменили выход системы, из-за чего пришлось заново пройти этапы 2—7.

Геометрическая интерпретация движения системы (1.6) — (1.8) в плоскости { ,t} изображена на рис. 1.3, в. Из него видно, что для решения задачи нужно найти кривую с заданной площадью фигуры F под ней и наименьшей возможной координатой правого конца , лежащую в треугольнике OMN с заданными углами наклона боковых сторон (в соответствии с (1.8) , ). Геометрическое решение очевидно: фигура F должна заполнять весь треугольник ОМК. Это значит, что автомобиль должен двигаться с максимальным ускорением до некоторого момента , затем включить максимальное торможение и в момент , выключить двигатель. Формулы для определения момента переключения выводятся из элементарного расчета треугольника ОМК по заданной площади и углам. Они имеют вид

, (1.9)

Рассмотренная геометрическая модель позволяет решать и более сложные задачи. Например, если по соображениям безопасности нужно учесть ограничение на максимальную скорость: , то решение легко усмотреть из рис.1.3,г: график оптимальной траектории представляет собой трапецию.

Еще более сложные задачи (например, при введении ограничений на расход топлива в виде не имеют простого аналитического решения, подобного (1.9), и практически решаются лишь численно, с привлечением математического аппарата приближенной минимизации функционалов см., например, [35. Гл. 9]). Однако и для них решение упрощенной задачи не теряет важности, поскольку оно позволяет получить начальное приближение к решению сложной задачи, установить качественные свойства решения сложной задачи, выявить факторы, наиболее сильно влияющие на решение сложной задачи, и, главное, соотнести результаты математического исследования со здравым смыслом.

Резюмируя сказанное, можно дать совет изучающему математическое моделирование: «не решай сложную задачу, не решив сначала более простую!».