Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Дискретные и непрерывные модели

 

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное[9] множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т. е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т. е. непрерывность и дискрет­ность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных со­вокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, y)= Іx-yІ. Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции[10], например, линейные: х+у, х-у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (2.1) —(2.3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: , du/dt = ay + bu и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y. Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические — динамические», «дискретные — непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в табл. 1.3, где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.



Пример 1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, «грубом» приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (u1) и человек без жетона , т.е. U={ u1}. После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (u0), т.е. U={u0, u1, }. Множество значений выхода содержит элементы «открыто» (y0) и «за­крыто» (y1). Таким образом, Y={y0, y1} и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

При необходимости хранить ММ системы в ЭВМ ее можно представить (закодировать) в виде матрицы или более экономно, в виде списка (0, 0, 1), в котором на i-м месте стоит j, если значению входа соответствует значение выхода yi.

Пример 2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание пятака и прохождение человека через турникет. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения («есть» или «нет»).

 

 


 

Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и0— «нет воздействия», и1 — «опускание жетона», и2— «прохождение». Множество Y можно задать так же, как и в примере 1. Однако теперь значение выхода y(t)не определяется только значением входа и(t),а зависит еще и оттого, был ли опущен жетон раньше, т.е. от значений u(s) при s<t. Система имеет «память». Простейший тип ММ для описания дискретных систем с памятью — это конечный автомат [31]. Для его построения вводится конечное множество внутренних состояний системы X, определяющее «память». В данном случае в X достаточно включить два элемента х0— «жетон не был брошен», x1— «жетон был брошен». Значения состояния системы в следующий момент времени I выхода в текущий момент зависят от текущих значений состояния и входа, т.е.

x(k+1)=F(x(k), и(k)), y(k) = G(x(k), и(к)), (2.4]

где k — номер момента времени такта. Отметим, что, выделив «текущий» и «следующий» моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным см. ниже п. 2.2.3). Функцию переходов F (х, и)и функцию выходов G(x, и)можно задать таблично:


Можно также построить графы переходов и выходов:

Пример 3. Рассмотрим простейшую электрическую цепь — RС-цепочку (рис. 1.6). Входом системы является напряжение источника u(t)=E0(t), выходом — напряжение на конденсаторе y(t)=E1(t). Закон Ома дает ММ системы в виде диф­ференциального уравнения 1-го порядка

у=и - у,(2.5)

где —RC — постоянная времени цепочки. ММ (2.5) полностью непрерывна: U==Y=T=R1. Если исследователя ин­тересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E0(t)= const, то нужно положить в (2.5) у=0и получить статическую модель

y(t)=u(t).(2.6)

Моделью (2.6) можно пользоваться как приближенной в I случае, когда вход E0(t)изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с ).

Рис. 1.6

Пример 4.Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций [9],существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популя­ций (видов) y1(t), y2(t). Пусть 2-й вид является пищей для 1-го, т.е. система относится к классу «хищник — жертва» (например, у1— численность лис в лесу, а у2— численность зайцев; или у1— концентрация бактерий-возбудителей заболевания в городе, а у2— число заболевших и т.д.). В дан­ном случае у1, у2— целые числа и, на первый взгляд, в ММ системы множество Y должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что у1, у2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. перейти к непрерывной модели (при достаточно больших у1, у2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных у1, у2. Простейшая модель динамики по­пуляции получается, если предположить, что:

— при отсутствии хищников численность жертв растет экспоненциально;

— при отсутствии жертв численность хищников убывает экспоненциально;

— численность «съеденных» жертв пропорциональна величине у1, у2.

При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки — Вольтерра:

, (2.7)

где а, Ь, с, d — положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например, когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.