Модели состояния динамических систем

Модели общего вида

Важнейшую роль при описании динамических систем играет понятие состояния. Состояние — это совокупность величин (вектор)[11] х — соl(х₁..., х_n),которые определяют (вместе с входным воздействием) будущее поведение системы. Например, для RС-цепочки переменная состояния есть Е₁поскольку значение Е₁(t) и входного воздействия E₀(s) при однозначно определяет (в силу (2.5)) значение Е₁(s) при s = t. Для модели динамики популяций (2.7) со стоянием является вектор х=соl (у₁, y₂).

В общем случае уравнения состояния — это системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка вместе с уравнениями для выходных величин. Начальное со стояние представляет «память» системы о прошлом. Модель состояния непрерывной динамической системы записывается в виде [9, 21, 60]

где u₁,..., u_m — входные переменные, y₁,..., y_l — выходные переменные, х₁,..., х_n — переменные состояния. Вводя векторные обозначения, можно записать (2.8) в более компактном виде:

(2.9)

где u = col(u₁,..., u_m), y=col(y₁,..., у_l),л:=со1(х₁,…,х_n).

Для моделей состояния справедлив следующий факт: лю­бая нелинейная динамическая система может быть представ­лена как соединение линейных динамических и нелинейных статических звеньев. Доказательство очевидно из рис. 1.7, где в качестве линейного звена взят интегратор.

Рис. 1.7

Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифференциальные) системы

Ф( , , u, t)=0, G(x, у, и, t)=0, (2.10)

частным случаем которых являются неявные системы

Ф( , у, u, t) =0. (2.11)

Линейные модели

Часто вместо (2.8) используют упрощенные ММ, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории

,удовлетворяющей уравнениям

. (2.12)

Тогда можно записать приближенную линеаризованную модель в отклонениях от этого режима:

(2.13)

где

Пример, Линеаризуем вблизи траектории, соответствующей Имеем откуда либо x(t) = 0(при (0) =0), либо (t) = l/(t—а).Рассмотрим второй случай:

В отклонениях = линеаризованное уравнение имеет вид

.

Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (2.13) также не зависят от времени: A(t) A, B(t) B и т.д.Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые более простыми уравнениями

(2.14)

Матрицы А, В, С являются параметрами модели (2.14).

Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то стараются по возможности выбрать ММ, линейную по параметрам:

где А — матрица параметров порядка , R^N — нелинейная вектор-функция. К этому классу относятся в частности, билинейные объекты, например, =а₁х + а₂хи + а₃и, где А=[а₁, а₂, а₃], (x, u)=col(x, хи, и).

Сказанное выше относится и к уравнениям дискретных по времени систем. Уравнения дискретной системы в общем слу­чае имеют вид

x_k+1 = F(x_k, u_k), y_k = G(x_k, и_к).(2.15)

Дискретным аналогом уравнений линейной стационарной си­стемы (2.14) являются уравнения:

x_k+1 = Px_k + Qu_k, y_k — Rx_k. (2.16)

Наряду с уравнениями состояния широкое применение на­ходят также модели в переменных «вход—выход» и модели, описываемые передаточными функциями. Для непрерывного времени уравнение «вход—выход» имеет вид

A(p)y(t)=B(p)u(t),(2.17)

где p=d/dt— символ дифференцирования по времени, причем в (2.17) всегда т<п. Дробно-рациональная функция называется передаточной функцией системы (2.17), а полином — ее характеристическим полиномом[12]. Если уравнение (2.17) получено из (2.14), то

(2.18)

. (2.18а)

Они справедливы и в случае, когда вход и выход системы (2.14) являются векторами, при этом (К) — матрица. Пользуясь (2.18), можно показать, что замена переменных состояния в (2.14) по формуле х'=Тх, где Т — неособая матрица (det T==0), не приводит к изменению передаточной функции (2.18а). Это значит, что обратный переход от описания «вход — выход» к уравнениям состояния (2.14) неоднозначен: при сохранении передаточной функции базис в пространстве состояний можно выбирать по-разному. На практике применяются несколько типовых способов пере­хода от передаточной функции к уравнениям состояния. Эти способы соответствуют так называемым каноническим пред­ставлениям системы [9]. Опишем один из них, приводящий к управляемому каноническому представлению. Вместо (2.16) вводятся два уравнения:

(2.19а)

(2.19б)

где — вспомогательная переменная. Очевидно, что передаточные функции (2.17) и (2.19) совпадают. В качестве вектора состояния в уравнении (2.16) берется х=со1( , ,…, ), так что Из (2.19а) и соотношений n—1, выводится форма матрицы A и вектора В в (2.14), а из (2.19б), записанного в виде , получаем строку С:

(2.20)

Если для системы (2.17) наблюдению доступна производная yⁱ от величины у при , то она может быть получена, если в найденных уравнениях сохранить А, В в форме (2.20) и взять С=[b_o …, b_m,..., 0].

Если в (2.17) (такие передаточные функции называются несобственными), то систему (2.17) нельзя привести к виду (2.14), но можно привести к виду

, y=Cx+Du, (2.21)

где А, В имеют вид (2.20), С=[b_o –a₀b_n,..., b_n-1 — a_n-1bn].

.