Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного

Лекции 13. Производная функции в точке. Бесконечная производная. Примеры вычисления производной. Геометрический смысл производной. Связь существования наклонной касательной к графику и наличия конечной производной функции в точке. Левая и правая производные; левая и правая наклонные касательные. Нормаль к графику функции. Дифференцируемость функции в точке. Теоремы о связи дифференцируемости с существованием конечной производной и с непрерывностью. Основные правила дифференцируемости (производные сумы, разности, произведения, частного).

ОЛ-2 гл. 1, п. 2.1;

ДЛ-1 гл. III §§ 1–4, § 7;

ДЛ-2 гл. 3 § 1 (п. 90–93, 96–97, 100–101), § 2 (п. 103–104).

Лекции 14. Теоремы о дифференцируемости обратной и сложной функций. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная и производная показательно-степенной функции. Производные функций, заданных параметрически и неявно. Производные высших порядков. Вычисление производных высших порядков для функций , , , , . Формула Лейбница для вычисления производной произведения.

ОЛ-2 пп. 2.2–2.6; 4.1–4.4;

ДЛ-1 гл. III §§ 5–6, §§ 8–15, §§ 18–19, § 22;

ДЛ-2 гл. 3 § 1 (п. 94–95, 98–99), § 4 (п. 115–118).

Лекции 15. Дифференциал функции. Теорема о связи производной и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Правила работы с дифференциалами (дифференциал суммы, разности, произведения, частного). Инвариантность формы записи первого дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов. Дифференциалы высших порядков, отсутствие инвариантности.

ОЛ-2 гл. 3, п. 4.5;

ДЛ-1 гл. III §§ 20–21, § 23;

ДЛ-2 гл. 3 § 2, § 4 (п. 119-120).

Лекции 16. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа) и их геометрический смысл. Теорема Бернулли-Лопиталя и раскрытие неопределенности типа [0/0]. Теорема Бернулли-Лопиталя и раскрытие неопределенности типа [ / ] (без доказательства). Сравнение порядков роста логарифмической, степенной и показательной функций на бесконечности. Раскрытие неопределенностей типа [ ], [ ], [ ], [ ], [ ].

ОЛ-2 гл. 5, гл. 6;

ДЛ-1 гл. IV §§ 1–5;

ДЛ-2 гл. 3 § 3, гл. 4 § 4.

Лекция 17. Формула Тейлора для многочленов. Многочлен Тейлора для произвольных функций. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Теорема о единственности разложения функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде. Следствия: остаточный член в форме Коши и в форме Лагранжа. Формула Маклорена.

ОЛ-2 пп. 7.1–7.3;

ДЛ-1 гл. IV § 6;

ДЛ-2 гл. 3 § 5 (п. 123, 124, 126).

Лекция 18. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена ( , , , , ). Использование разложений для вычисления пределов и в приближенных вычислениях. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. Связь производной и монотонности. Необходимые и достаточные условия монотонности. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции.

ОЛ-2 пп. 7.4, 7.5, д.7.1, 8.1, 8.2;

ДЛ-1 гл. IV § 7, гл. V §§ 2–3;

ДЛ-2 гл. 3 § 5 (п. 125, 127), гл. 4 § 1 (п. 131, 132, 134).

Лекция 19.Достаточные условия существования экстремума по первой производной, по второй производной, по n-ой производной. Понятие о выпуклости вверх (вниз) функции. Геометрический смысл определения выпуклости функции – взаимное расположение графика функции и хорды. Лемма о выпуклости функции и ее геометрический смысл.

ОЛ-2 пп.8.3, 8.4;

ДЛ-1 гл. V §§ 3–5, 8–9;

ДЛ-2 гл. 4 § 1 (п. 135–138), § 2 (п. 141–143).

Лекция 20.Необходимое и достаточное условие выпуклости по первой производной. Необходимое и достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции, достаточное условие строгой выпуклости дважды дифференцируемой функции. Связь направления выпуклости графика функции с положением касательной. Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Теорема о наклонной асимптоте. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

ОЛ-2 пп.8.4, 8.5, 8.7, 8.8;

ДЛ-1 гл. V §§ 9–11;

ДЛ-2 гл. 4 § 2 (п. 143, 145), § 2.

Лекции 21. Векторная функция скалярного аргумента. Геометрическая интерпретация. Годограф вектор-функции. Способы задания кривой в пространстве: векторное уравнение, параметрическое уравнение, пересечение двух поверхностей. Предел вектор-функции и его связь с пределами координатных функций. Правила вычисления пределов вектор-функций. Непрерывность вектор-функции. Теорема о связи непрерывности вектор-функции и непрерывности координатных функций (без доказательства).

ОЛ-2 п. 9.1;

ДЛ-1 гл IX, §§ 1–2.

Лекция 22. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Теорема о связи производной вектор-функции и производных координатных функций. Геометрический смысл производной вектор-функции. Правила вычисления производных. Дифференцируемость вектор-функции. Связь дифференцируемости и наличия конечной производной. Дифференциал вектор-функции.

ОЛ-2 п. 9.2;

ДЛ-1 гл IX, §§ 2–3.

Лекция 23. Простейшие численные методы решения уравнений вида . Нули многочленов и точные решения алгебраических уравнений. Локализация и уточнение корней. Деление отрезка пополам, введение в итерационные методы, метод Ньютона.

ОЛ-2 гл.11;

Лекция 24. Обзорная. Резерв.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ