МОДУЛЬ 1. Элементарные функции и пределы

Домашнее задание № 1 «Элементарные функции и их графики»

Срок выдачи – 1-я неделя

Домашнее задание № 1 включает поиск области определения функции, исследование функции на четность/нечетность, элементарные преобразования графиков функций, построение эскизов графиков функций.

Срок сдачи – 4 неделя

Типовой вариант домашнего задания № 1

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2. Исследовать функцию на четность (нечетность).

Задача 3. Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиков следующих функций:

а) , б), в) ,
г) , д) .

Задача 4. Построить эскиз графика рациональной функции , исследуя его расположение относительно оси абсцисс и асимптот.

Задача 5. Используя правила построения графика суммы, произведения, частного или композиции двух функций, построить эскиз графика функции .

Домашнее задание № 2 «Пределы»

Срок выдачи – 4-я неделя

Домашнее задание № 2 посвящено теории пределов. Требуется умение пользоваться определением предела по Коши; вычислять пределы функций, используя различные методы и приемы; сравнивать бесконечно малые (бесконечно большие) функции; исследовать функцию на непрерывность и классифицировать точки разрыва.

Срок сдачи – 8 неделя

Типовой вариант домашнего задания № 2

Задача 1. Для заданной последовательности и числа доказать, что , определив для каждого число , такое, что для всех . Заполнить таблицу:

	0,1	0,01	0,001

Задача 2. Вычислить следующие пределы:

а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .

Задача 3.

1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.

2) Для каждой функции f и g записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида при , или при , указать их порядки малости (роста).

3) Сравнить f и g при , если , .

Задача 4.Найти точки разрыва функции и определить их характер. Построить фрагменты графика функции в окрестности каждой точки разрыва:

Рубежный контроль № 1

Срок проведения – 9-я неделя

Рубежный контроль по модулю № 1 включает в себя один теоретический вопрос, соответствующей программе 1-го модуля курса; одно задание, предполагающее запись определения предела функции по Коши, пять заданий на вычисление пределов и задание на поиск точек разрыва функции и исследование их характера.

Типовой вариант рубежного контроля № 1

1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

2. Сформулировать определение по Коши для предела . Привести соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).

Вычислить пределы:

3. . 4. . 5. .
6. . 7. .

8. Найти точки разрыва функции , исследовать их характер, построить график функции в их окрестности.

МОДУЛЬ 2. Дифференциальное исчисление фунуций одного переменного

Домашнее задание № 3 «Исследование функций и построение графиков»

Срок выдачи – 10-я неделя

Домашнее задание № 3 предполагает проведение полного исследования функции и построение графика трех заданных функций.

Срок сдачи – 15-я неделя.

Типовой вариант домашнего задания № 3

Исследовать заданные функции и построить их графики:

1) ; 2) ; 3) .

Контрольная работа «Техника дифференцирования»

Контрольная работа включает шесть заданий на вычисление производной функций, заданных явно, два задания на вычисление производных параметрически и неявно, а также задание на вывод уравнения касательной или нормали к кривой.

Срок проведения – 12-я неделя

Типовой вариант контрольной работы

Найти производную функции :

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. .

7. Найти для функции, заданной параметрически:

8. Найти , в точке для функции, заданной неявно уравнением

9. Найти уравнение касательной к эллипсу в точке . Сделать чертеж.

Рубежный контроль № 2

Срок проведения – 16-я неделя

Рубежный контроль по модулю № 2 включает в себя один теоретический вопрос, соответствующей программе 2-го модуля курса; одно задание, предполагающее проведение полного исследования функции и построение ее графика, и одно задание построить (схематично) график функции по заданному кусочно-линейному графику производной.

Типовой вариант контроля по модулю № 2

1. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

2. Исследовать функцию и построить ее график.

3. По графику производной построить график функции.

МОДУЛЬ 3. Итоговый экзамен

Срок проведения – экзаменационная сессия

Экзаменационный билет содержит два теоретических вопроса и две задачи, охватывающие оба модуля. Теоретические вопросы аналогичны тем, которые входят в программу подготовки к рубежному контролю по каждому из модулей.

Типовой вариант экзаменационного билета

1. Фундаментальные последовательности и их свойства. Доказать критерий Коши сходимости числовой последовательности.

2. Доказать необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции.

3. Вычислить .

4. Построить график функции .

Вопросы для подготовки к контролю по модулям и к экзамену