Зависимость Эри. Расход донных наносов

Как отмечалось выше, часть твердого стока реки осуществляется путем передвиже­ния некоторого количества наносов по дну реки.

Частицы грунта, лежащие на дне, приходят в движение под воздействием гидродинамического давления, возникающего при обтекании их потоком. Давление, действующее на каждую частицу, может быть разложено на две составляющие: сдвигающую силу, параллельную дну и направленную по течению, и подъемную силу, направленную вверх. До тех пор, пока подъемная сила не превы­шает веса частицы, последняя под воздействием сдвигающей силы может двигаться по дну только скольжением или перекатыванием. Такое перемещение наносов называется влечением по дну. Следует подчеркнуть, что деление наносов на взвешенные и влекомые в зна­чительной мере условно, ибо одни и те же частицы в различных фазах режима реки и на различных участках могут оказаться то взвешенными, то донными.

Процесс перемещения наноcов по дну имеет довольно сложный характер. Благодаря неправильности формы и поверхности двигаю­щихся частиц, а также и самого дна трение частиц о дно не явля­ется постоянным. Непостоянны и значения скоростей течения и их вертикальных и горизонтальных составляющих. Поэтому движение частиц носит следующий прерывистый характер: частица начинает перекатываться, останавливается, передвигается по дну скачками, опять начинает перекатываться и т. д. Рассматривая схему воздействия скорости течения на лежащую на дне частицу грунта, представим себе для простоты, что частица имеет форму куба со сторо­ной d.

Сила давления Р на эту частицу будет пропорциональна поверхности да d² и скоростному напору , т. е.

где γ_o — вес единицы объема воды; υ — скорость течения, действую­щая на грань куба; g — ускорение свободного падения; k — коэффициент, зависящий от формы частицы. Давлению Р частица оказывает сопротивление, которое пропорционально ее весу в воде, т. е. d³(γ— γ_о), где γ — вес единицы объема частицы, и пропорционально коэффициенту трения φ, т. е. сопротивление R равно:

Частица может двигаться, или вращаясь около своего ребра, или скользя по дну. При вращении, принимая, что сила приложена в центре поверхности давления, т. е. на расстоянии d/2 от дна по­лучаем момент, вращающий частицу вокруг точки А вправо,

В свою очередь момент, удерживающий частицу (рис. 127), действующий влево, равен весу частицы, умноженному также на плечо d/2,

Рис 127. Схема сил, действующих на частицу, лежащую на дне потока

т. е. неустойчивое равновесие будет при т₁ = т₂ или

откуда

возводя в куб и умножая на γ имеем

Обозначая постоянное выражение, стоящее перед υ⁶, через A, имеем

(5.108)

Выражение d³γ представляет собой вес тела. Таким образом, из уравнения (5.108) следует, что веса влекомых частиц пропорцио­нальны шестой степени скоростей. Это так называемый закон Эри.

Беря отношение для двух подобных частиц, получим

(5.109)

Изравенства (5.109)следует, что веса донных частиц отно­сятся как шестые степени скоростей.

Закон Эри достаточно хорошо объясняет многие явления раз­мыва и передвижения наносов. Если скорости потоков равнинного и горного характера примем, например, в отношении 1:4, то веса перемещаемых частиц будут находиться в отношении 1: 4⁶, или 1:4096. Из этого примера становится понятным, почему равнин­ные реки перемещают лишь песок, а горные — нередко большие камни.

Из равенства (5.108) непосредственно следует выражение для предельной скорости потока, соответствующей моменту начала движения наносов,

(5.110)

где d — диаметр частицы в метрах; k — коэффициент пропорциональности, равный примерно 5,0; υ — в м/с.

Закон Эри в общем справедлив для случая, когда частица велика по сравнению с толщиной придонного слоя, в котором возра­стание скорости в направлении от дна к поверхности идет быстро. В том случае, когда размеры частицы малы по сравнению с толщи­ной придонного слоя, т. е. когда частица находится в зоне резкого возрастания скоростей по высоте, на ее нижнюю и верхнюю части действуют весьма различные скорости.

Существенное различие скоростей по высоте увеличивает опро­кидывающий момент. Вместе с тем для очень малых частиц сопро­тивление оказывается пропорциональным не квадрату скорости, а характеризуется некоторым иным соотношением.

Учитывая изложенное, М. А. Великанов поставил серию опытов с целью найти связь между скоростью потока v и диаметром ча­стицы d, приходящей в движение под влиянием этой скорости, в бо­лее общей форме, чем это дается законом Эри.

В результате этих опытов, проведенных с частицами диамет­ром от 0,1—0,25 до 4,0—5,0 мм при глубине воды в лотке от 2,2 до 13,0 см, получена следующая зависимость:

или

(5.111)

Здесь q — ускорение силы тяжести; d — диаметр частиц в метрах; υ — скорость в м/с.

Из уравнения (5.111) следует, что при υ 0,24 м/с не передвигаются даже самые мелкие частицы.

Непосредственное воздействие на частицы грунта, лежащие на дне, очевидно, оказывает донная скорость. Однако практически удобнее в расчетных зависимостях для определения предельной скорости, при которой начинается движение наносов по дну, вводить не эту, трудно определяемую величину, а среднюю ско­рость на вертикали.

В этом случае, как показали экспериментальные исследования В. Н. Гончарова, И. И. Леви и других, следует в зависимость (5.110) вводить множитель (h/d)ⁿ, где h — глубина вертикали, d— диаметр частиц. Введением этого множителя учитывается факт возрастания предельной скорости с увеличением глубины и умень­шения ее с увеличением диаметра частиц.

В соответствии с этим выражение (5.110) принимает вид

(5.112)

По Г. И. Шамову, коэффициент k для средней скорости, при которой начинается массовое движение наносов, может быть при­нят равным 6,0, а n = 1/6. В таком случае имеем

(5.113)

где d и h выражены в метрах; υ_{cp. в}— верхняя предельная средняя скорость в м/с.

Скорость, при которой прекращается движение донных наносов, или так называемая нижняя предельная скорость, составляет 0,62 величины, получаемой по зависимости (5.113).Следовательно, для нижней предельной скорости можно принять равенство

(5.114)

Пользуясь соотношением (5.114), можно по крупности наносов, отложившихся в русле, например при прохождении паводка по суходолу, получить представление о скорости потока, при которой эти наносы отложились. А имея профиль сечения потока, очевидно, можно установить и значение расхода, соответствующее этой ско­рости.

Расход наносов G, перемещающихся путем влечения по дну че­рез единицу ширины створа реки, равен произведению скорости перемещения частиц υ, умноженной на толщину перемещающегося слоя, который может быть принят равным диаметру частиц d, и на коэффициент m, учитывающий отсутствие сплошного движения всех частиц, лежащих на рассматриваемом участке створа, т. е.

(5.115)

Множитель m носит название динамического коэффициента сплошности и представляет собой отношение объема движущихся частиц ко всему объему частиц в слое толщиной d.

Скорость движения наносов υ, согласно экспериментальным данным, может быть принята равной разности между средней ско­ростью потока υ _cp на рассматриваемой вертикали и предельной средней скоростью, при которой отлагаются наносы υ _{ср. н.}, т. е.

, (5.116)

Коэффициент динамической сплошности, по экспериментальным данным В. Н. Гончарова, может быть принят пропорциональным третьей степени отношения средней скорости к средней скорости на вертикали, при которой начинается массовое движение наносов, т. е.

, (5.117)

Дальнейшие исследования показали, что коэффициент динами­ческой сплошности зависит также и от относительной шероховато­сти в некоторой степени п, т. е. в более общем виде

, (5.118)

где m_o— статический коэффициент сплошности, характеризующий относительный объем, занимаемый частицами грунта в рассматри­ваемом объеме; иначе говоря, коэффициент m₀ представляет собой дополнение до единицы коэффициента порозности; h — глубина вертикали.

Подставляя значения υи т в зависимость (5.115) и выражая расход наносов в весовых единицах, т. е. умножая на вес единицы объема наносов γ_н, получим

, (5.119)

где G— расход наносов в кг/(с·м).

Заменяя υ _{cp. в} на υ _{ср. н} по соотношению

и обозначая через k, получим

, (5.120)

где G — расход наносов в кг/(с ·м).

По данным Г. И. Шамова, коэффициент k может быть принят равным , a n=1/4. При этих значениях указанных коэффи­циентов получим формулу Шамова

, (5.121)

где d — диаметр частиц в метрах; υ _cp — средняя скорость на вертикали в м/с; γ_{cр. н} — нижняя предельная скорость, определяемая по формуле (5.114); G — расход наносов в кг/(с·м).