Схема упорядоченных размещений

Пусть множество состоит из п элементов: п₁ – элементы первого рода, п₂ – элементы второго рода, …, п_k – k-го рода, причем п₁ + п₂ +…+ п_k = п. Число способов разбиения множества на k упорядоченных частей и число перестановок п из элементов множества обозначается и вычисляется по формуле

.

Примеры:

1. В турнире участвуют 6 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

Решение.

Так как каждый человек займет какое-либо место с 1 по 6-е, следовательно, будем использовать формулу перестановок:

Р₆ = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Ответ. 720 способов.

2. Сколькими способами может быть присуждены 1, 2 и 3 премии трем лицам, если число соревнующихся 12?

Решение.

Так как порядок выбора элементов важен, следовательно, для подсчета способов будем использовать формулу размещений без повторений (т.к. один и тот же человек не может занять, например, 2 и 3 места одновременно). Получаем:

.

Ответ: 1320 способов.

3. Сколькими способами читатель может выбрать 4 книги из 6?

Решение.

Так как порядок выбора элементов не важен (т.е. книги можно взять в произвольном порядке), следовательно, для подсчета способов будем использовать формулу сочетаний без повторений. Получаем:

.

Ответ: 15 способов.

4. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил «неуд».

Решение.

Каждый из студентов может получить любую из отметок: «удовлетворительно», «хорошо», «отлично». Причем отметки могут повторяться. И так как важно, какую отметку получит каждый из студентов, то, следовательно, для подсчета способов будем использовать формулу размещений с повторениями. Получаем:

.

Ответ: 81 способ.

5. Сколько различных «слов» (необязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы в слове: а) СОЛНЦЕ; б) MISSISSIPPI?

Решение.

а) В слове СОЛНЦЕ нет повторяющихся букв, новые «слова» получаются перестановкой букв, следовательно, для подсчета количества новых «слов» будем использовать формулу перестановок. Так как букв в исходном слове 6, получим:

.

б) В слове MISSISSIPPI есть повторяющиеся буквы. Разобьем данное множество на подмножества. Пусть буквы М – элементы 1-го рода, тогда

п₁ = 1; буквы I – элементы 2-го рода, тогда п₂ = 4; буквы S – элементы 3-го рода, п₃ = 4; буквы Р – элементы 4-го рода, п₄ = 2. Всего букв в слове 11, т.е. п = 11. Для подсчета будем использовать схему упорядоченных размещений, получим:

.

Ответ: а) 720 способов; б) 34650 способов.

6. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Покупатель выбил чек на 4 открытки. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных вариантов покупки.

Решение.

Порядок выбора открыток не важен и так как не сказано, что открытки должны быть разного вида, то для подсчета способов будем использовать формулу сочетаний с повторениями. Получим:

.

Ответ: 126 способов.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события

В теории вероятностей рассматривается следующая модель некоторых явлений реальной жизни: проводится испытание (опыт, эксперимент), результат (исход) которого нельзя предсказать заранее.

Например, при бросании монеты (испытание) нельзя предсказать заранее, что выпадет цифра или герб; также нельзя сказать заранее, попадёт ли стрелок в цель при выстреле (испытание).

Результат испытания называется событием.

Определение. Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении опыта либо происходит, либо не происходит.

Обозначаются события часто заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С.

Например, если испытание есть подбрасывание монеты, то событие А=«выпадение цифры» и событие В=«выпадение герба» - случайные события.

Или, если испытание состоит в том, что производится выстрел по цели, то событие А = «попадание в цель» и событие В = «промах» - случайные события.

Определение. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при этом испытании. Обозначается: U.

Например, если в книге наугад выбирается слово, то событие U= «число букв в слове меньше ста» - достоверное событие. Или, если из урны, содержащей только белые шары, вынимается один шар, то событие «появление белого шара» есть достоверное событие.

Определение. В том случае, когда событие заведомо не может произойти в результате опыта, его называют невозможным. Обозначается: Æ.

Например, событие «выпадение 7 очков» при бросании игральной кости один раз есть невозможное событие.

Определение. События А и В называются равносильными (равными), если А происходит тогда и только тогда, когда происходит В. Пишут: А=В.

Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие «выпала шестерка» и событие «выпала грань с наибольшим возможным номером» равносильны.

2. Операции над событиями. Полная группа событий

Определение. Суммой событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Обозначается: А+В.

Определение Суммой нескольких событий (более двух) называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Определение. Произведением событий А и В называется событие, осуществляющееся только в том случае, когда данные события происходят одновременно. Обозначается: А ∙ В.

Примеры:

1. Два стрелка делают по одному выстрелу по цели. Событие А = «попадание одного стрелка в цель», событие В = «попадание другого стрелка в цель», то

а) событие А+В = «попадание или одного, или другого стрелка в цель», т.е. событие А+В = «хотя бы одно попадание в цель».

б) А ∙ В = «оба стрелка попадут в цель».

2. Подбрасывается монета один раз. Событие А = «появление цифры»,

событие В = «появление герба», то событие А ∙ В есть невозможное событие, т.е. А ∙ В =Æ.

Определение. Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, т.е. А ∙ В =Æ.

Определение. Два события А и В называются совместными, если появление одного события не исключает появление другого события.

Пример: Событие А = «попадание одного стрелка в цель» и событие В= «попадание другого стрелка в цель» есть совместные события.

Определение. События А₁, А₂, ..., А_n при называются попарно несовместными, если А_i∙А_j=Æ при i≠j (т.е., если каждые два из них несовместны).

Примеры:

1. Пусть игральную кость бросают один раз. Рассмотрим некоторые события, связанные с этим испытанием.

Событие А₁= «появление одного очка»,

А₂= «появление двух очков»,...,

А₆= «появление шести очков».

При этом испытании события А₁, А₂, ..., А₆ попарно несовместны, так как А_i∙А_j=Æпри i≠j.

2. Производится 3 выстрела по цели. Пусть событие А_k= «попадание при k-ом выстреле», где k=1,2,3. Какие события представляют: а) A₁A₂A₃; б) А₁+А₂+А₃?

Ответ: а) А₁А₃А₃= «три попадания в цель»;

б) А₁+А₂+А₃= «хотя бы одно попадание в цель при 3 выстрелах».

Определение. Говорят, что события А₁, А₂,…,А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, если при реализации испытания одно (и только одно) из этих событий обязательно произойдет, т.е. если А₁+А₂+…+А_n=U и А_i∙А_j=Æ при i≠j.

Пример:

События А_k = «выпадение k очков» (k =1, 2, 3, 4, 5, 6) при одном бросании игральной кости есть исходы, образующие полную группу попарно несовместных событий.

Определение. Событие называется противоположным событию , если оно заключается в непоявлении события . Читают: «не ».

События и образуют полную группу событий.